ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 5. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1979)

1979 / 1-2. sz. - Hatvani László: Nem-autonóm differenciálegyenlet-rendszerek megoldásainak stabilitása és parciális stabilitása

Alkalmazott Matematikai Lapok 5 (1979) 1—48 NEM-AUTONÓM DIFFERENCIÁLEGYENLET-RENDSZEREK MEGOLDÁSAINAK STABILITÁSA ÉS PARCIÁLIS STABILITÁSA HATVANI LÁSZLÓ Szeged A dolgozat a Ljapunov-féle direkt módszerről ad áttekintést. Bebizonyítjuk a Ljapunov— Csetajev-féle alaptételek parciális stabilitásra vonatkozó alakjait. Ezek alkalmazásaként a kon­zervatív mechanikai rendszerek egyensúlyi helyzetére vonatkozó Lagrange—Dirichlet-tételt és megfordíthatóságát tárgyaljuk. Ismertetjük az első közelítés (linearizálás) alapján végzett stabilitás­vizsgálat alaptételeit, külön foglalkozva a konstans együtthatós és periodikus együtthatós lineáris rendszerek esetével. A direkt módszer továbbfejlesztésével foglalkozó modern kutatások eredményei­ből olyan tételeket tárgyalunk, amelyek aszimptotikus stabilitást állapítanak meg szemidefinit deriválttal rendelkező, illetve felülről nem-korlátos Ljapunov-függvény segítségével. Foglalkozunk mechanikai rendszerek különböző típusú kiegészítő erőkkel való stabilizálásával. Alkalmazásként általában disszipatív és giroszkopikus erők hatása alatt álló mechanikai rendszerek (pl. súrlódó közegben mozgó, változó fonalhosszúságú inga) stabilitási viszonyait vizsgáljuk. 1. Bevezetés Tekintsünk egy olyan, időben változó rendszert vagy folyamatot, amelynek matematikai modellje egy (1.1) x = X(t,x) (t^0,xeR") közönséges differenciálegyenlet-rendszer; t az időt jelöli, л- pedig a rendszert jellemző állapothatározókból álló vektor. Ilyen például egy anyagi pontokból álló rendszer vagy egy merev test a klasszikus mechanikában — az állapothatározók a pontok helyét megadó koordináták és a sebességvektor komponensei — de ilyen modell írja le például különböző, egymásba átalakuló anyagok kémiai reakcióját is, ahol az állapothatározók az egymásra ható anyagok mennyisége egy adott idő­pillanatban. Tegyük fel, hogy a rendszer determinált a következő értelemben: az a tény, hogy a rendszer a t 0 időpillanatban az x„ állapotban van, egyértelműen meg­határozza a rendszer további állapotait, vagyis az (1.1) differenciálegyenlet-rendszer­nek egyetlen olyan x(t; t 0, x 0) megoldása létezik, amely a í 0-ban az x 0 értéket veszi fel: x(? 0; f 0, x 0)=x 0. Az x 0 kezdeti állapot meghatározása méréssel történik, tehát nem abszolút pontos. Ha a valódi x 0 állapotra méréssel a ç közelítés adódott, akkor modellünk alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer a t idő­pillanatban az x(t; t 0, Ç) állapotban lesz, pedig x(t; t 0, x 0) lesz a valódi állapota. A modell csak akkor használható a gyakorlatban a rendszer leírására, ha ez a két állapot kicsit tér el egymástól, feltéve, hogy ^ elég jól közelíti x 0-t. Vagyis, ha meg­adjuk az állapothatározók meghatározásának pontosságát (e=»0), akkor létezik egy olyan tűrés az x 0 kezdeti állapot meghatározására, hogy annak betartá­Alkalmazott Matematikai Lapok 5 (1979)

Next

Sign up Sign up
/
Thumbnails
Contents