ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 5. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1979)
1979 / 1-2. sz. - Hatvani László: Nem-autonóm differenciálegyenlet-rendszerek megoldásainak stabilitása és parciális stabilitása
HATVANI L. sával x(t; t0, 0) az adott x pontossággal közelíti a valódi x(t; t0, *0) állapotot egy adott intervallumon. A differenciálegyenletek elméletéből ismeretes [27], hogy ha а Г egy [/t, T] korlátos intervallumon változik, akkor bármely en 0-hoz van ilyen ¥ 5,0 (a megoldások a kezdeti értékektől folytonosan függnek, ha (1.1) jobb oldala elég szabályos). A problémát az okozza, hogy akármilyen szabályos differenciálegyenlet esetében is előfordulhat az, hogy a a T növelésével minden határon túl csökken, tehát a rendszert az x(t, 10, e) megoldás hamisan írja le, ha a megfigyelés hosszú ideig tart, bármilyen pontosan is adtuk meg a kezdeti állapotot. Ezért fontos feladat megadni az X(t, x) függvényre olyan feltételeket, amelyek biztosítják Г-től független d 0 létezését. Ha ilyen д létezik, akkor az x(t\ t0, x0) megoldást stabilisnak nevezzük, ami matematikai terminológiával azt jelenti, hogy x(t, /„, ç)=t =tx(t, ?0, x0) a í€[/0, intervallumon egyenletesen, ha £ — x0 (a különböző stabilitási fogalmak pontos definícióit 1. a 2. pontban). A megoldások stabilitásának problémájához jutunk a következő jelenség feldolgozásánál is. Tegyük fel, hogy az (1.1) által leírt rendszert a 10 időpillanatban valami váratlan, ellenőrizhetetlen, ismeretlen szerkezetű, de kicsiny nagyságrendű zavaró hatás, perturbáció éri, ami egy rövid, h hosszúságú időintervallumon hat. Tehát a rendszert a t0-ig, illetve t0+h-tól ismét (1.1) írja le, de a [/t, t0+h] intervallumon nem. Tegyük fel, hogy rendszerünk a t0 időpillanatban az x0 állapotban volt. Ha a perturbáció nem hatott volna, a rendszer jövőjét az x(t, t0,x0) megoldás adná, de a perturbáció miatt a [t0, t0+h] rövid időszakaszon a rendszer „átugrott" egy másik x(t\ t0, ç) „pályára". Elvárjuk, hogy ha a zavaró hatás elég kicsiny, akkor x(t; t0, ç) tetszőleges pontossággal közelítse x(t; t0, x0)-t, vagyis ismét a stabilitás problémájához jutottunk. A stabilitás problémája már igen régen felmerült mechanikai rendszerek egyensúlyi helyzetének jellemzésével kapcsolatban (a legegyszerűbb példaként az inga alsó és felső egyensúlyi helyzetének összehasonlítása szolgálhat). Az első monográfiák E. G. RouTH-tól származnak az 1877—1884-es évekből. Nagy lökést adott az elmélet kifejlődéséhez a Watt-féle centrifugális regulátorral kapcsolatban felmerült kérdések megoldása (1. például [27]). Az elmélet igazi matematikai megalapozását H. POINCARÉ és A. M. LJAPUNOV kezdte el. A híres orosz tudós, A. M. LJAPUNOV 1892-ben közölte doktori disszertációját [42], amely mérföldkövet jelent az elmélet történetében. Ebben megadta a stabilitási fogalmak egzakt definícióját, és adott egy olyan módszert a problémák megoldására, amely ma is a legalapvetőbb és legsikeresebb az elméletnek még olyan ágaiban is, amelyek azóta születtek (pl. automatikus irányítások, optimális folyamatok stabilitásának elmélete [10, 34]. A Szovjetunióban az 1930-as évektől, nyugaton az 1950-es évektől kezdve napjainkig a stabilitáselméletben nagy fellendülés tapasztalható, amely N. G. CSETAJEV, I. G. MALKIN, illetve S. LEFSCHETZ, J. P. LASALLE és R. BELLMAN munkásságával kezdődött. Ez a fellendülés köszönhető a már említett új tudományok kialakulásának, de főleg a számítógépek megjelenésének. Az eddigiekből kitűnik ugyanis, hogy egy differenciálegyenlet numerikus megoldását is stabilitásvizsgálatnak kell megelőzni, hiszen csak akkor várhatunk megfelelő közelítést, ha a kiszemelt megoldás stabilis. Ennek az időszaknak egy fontos eredménye a parciális stabilitás fogalmának bevezetése és vizsgálata, amely V. V. RUMJANCEV [49, 51] szovjet tudós nevéhez fűződik. Az x(t, t0, X0) megoldás parciális stabilitása azt jelenti, hogy az x(t, t0, 0) megoldás bizonyos komponensei kicsit térnek el az x(t, t0, x0) megoldáséitól, ha ő az x0-hoz közel van. ~Alkalmazott Matematikai Lapok 5 (1979)