ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 9. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1983)
1983 / 1-2. sz. - Tóth János, Érdi Péter és Török László Turul: A Poisson-eloszlás jelentősége összetett kémiai reakciók sztochasztikus modelljében
összetett kémiai reakciók sztochasztikus modellje 177 [17, 1. oldal], és a feltételek korántsem következnek egyértelműen a feladat jellegéből [27, R109. oldal]. A kérdéskör irodalmát tovább bonyolította az a tény, hogy foglalkozni kezdtek az összetett kémiai reakció lokális (azaz a komponensek térbeli diffúzióját is figyelembe vevő, és így a termodinamikához közelebb álló) sztochasztikus modelljével — ezekről egy figyelemre méltó dolgozat [1] — miközben a globális modell tulajdonságai még nem voltak teljesen felderítve (ahogyan még ma sincsenek). Összefoglalva az irodalmat, azt mondhatjuk: elképzelhetőnek tartják, hogy a Poissoneloszlást a diffúzió eltorzítja, de akkor egy olyan modellt kell definiálni, amely a diffúziót is le tudja írni, és az fog Poisson-eloszlásra vezetni. Ebben a dolgozatban, figyelembe véve az előző bekezdésekben mondottakat és a mottót, a globális modell tanulmányozására szorítkozunk, azaz azokat a strukturális (kémiai kifejezéssel élve: sztöchiometriai) feltételeket vizsgáljuk, amelyek mellett egy összetett kémiai reakció Poisson-eloszlásra vezethet. A dolgozat felépítése a következő: A 2. fejezetben ismertetjük az összetett kémiai reakciók sztochasztikus modelljére vonatkozó evolúciós egyenleteket. A 3. fejezetben elégséges feltételt adunk a stacionárius eloszlás egycsúcsúságára, illetve arra, hogy az Poisson-eloszlás legyen. A 4. fejezetben rávilágítunk az eredmények termodinamikai hátterére és számos megoldatlan problémát vetünk fel. Külön függelékben ismertetjük WHITTLE [47] egy tételét, amely bizonyos folyamatok stacionárius eloszlásának létezésére és egyértelműségére vonatkozik. Az ugró Markov-folyamatokra vonatkozó alapvető állítások például a [4,1 OA, 18, 32A] könyvekben találhatók meg. Felhívjuk az Olvasó figyelmét a [18] könyvre, amely az alkalmazásokra irányuló könyvek közül a legmagasabb színvonalú és a legbőségesebb. 2. Az összetett kémiai reakciók (globális) sztochasztikus modellje 2.1. + sztochasztikus modell és a kombinatorikus sztochasztikus modell Először [43] 2.6. és 2.9. definíciója alapján megmondjuk, hogy mit értünk egy (tömeghatás kinetikájú) összetett kémiai reakció (Volpert-féle) megadásán. Az egyes objektumok jelentését itt nem részletezzük, lásd erről például a [42, 43] dolgozatokat. 2.1. DEFINÍCIÓ. Összetett kémiai reakciónak nevezzük az (fi Si, (A, /?), k) objektumot, ahol (i) és egy-egy M, illetve R (M, R(z N) elemű, egymástól diszjunkt halmaz, elemeiket kémiai komponenseknek, illetve elemi reakcióknak hívjuk; (ii) (a, /l)μ(N0XN0)gxár egy függvény, értékeik sztöchiometriai együtthatók,amelyek megmutatják, hogy az egyes komponensekből hány darab szerepel az elemi reakciókat szokásosan jelképező nyíl bal, illetve jobb oldalán, más szóval reaktánsként, illetve termékként); (iii) A:: R+ egy olyan függvény, amelyik mindegyik elemi reakcióhoz hozzárendeli az elemi reakció sebességi állandóját. Alkalmazott Matematikai Lapok 9 (1983)