Természet és Technika, 1953 (112. évfolyam, 1-12. szám)
1953-01-01 / 1. szám
Rényi Alfréd akadémikus: BOLYAI JÁNOS FELFEDEZÉSÉNEK TUDOMÁNYOS ÉS VILÁGNÉZETI JELENTŐSÉGE A NEM EUKLIDESZI GEOMETRIA felfedezése a matematika történetének egyik legkiemelkedőbb eseménye. Nemcsak arról van szó, hogy Bolyai János és N. I. Lobacsevszkij egymástól függetlenül megoldották a matematikának egyik, több mint kétezer éves alapvető problémáját. Felfedezésük új korszakot nyitott meg a matematika történetében, sőt ezen túlmenőleg előrevitte általában az anyagi világ megismerését, amenynyiben egészen új megvilágításba helyezte a matematika és a valóság sokrétű, dialektikus viszonyát. A matematika és a valóság viszonyának kérdése az ismeretelmélet egyik jelentős problémája, amelynek helyes megértése nélkül a fizika és általában a matematikai módszerrel dolgozó exakt természettudományok eredményeinek értékéről sem alkothatunk helyes képet. A Bolyai—Lobacsevszkij-geometria felfedezése tehát a tudományos materialista világnézet fejlődése szempontjából is nagyjelentőségű esemény. AHHOZ, HOGY MEGÉRTSÜK Bolyai és Lobacsevszkij felfedezésének szerepét, meg kell ismernünk előzményeit, a geometria vázlatos történetét. A geometria első rendszeres, tudományos tárgyalása Euklidesztől, a nagy görög matematikustól származik, az i. e. 3. századból. Euklidesz kisszámú alapfeltevésből, axiómából indul ki, a geometria minden egyéb tételét pedig logikus bizonyítással vezeti le ezekből az alapfeltévé-ésekből. Euklidesz axiómái olyan egyszerű tényeket fejeznek ki, amelyeket — egy kivételével — mindenki Strindig nyilvánvalónak tartott, mert mélyen a tapasztalatban gyökereznek. Egy kivétel, Euklidesz V. poszttfeátuma azonban már az óskor matematikusait is boham vizsgálatokra késztette. Ez az axióma, amelyet párhuzamossági axiómának szokás nevezni, a legegyszerűbben a következőképpen fogalmazható meg: egy adott egyeneshez egy rajta kívül fekvő ponton keresztül az egyenest és pontot tartalmazó síkban csak egyetlen olyan egyenes húzható, amely az első egyenest nem metszik más szóval, amely azzal párhuzamos. Ez az axióma azért keltette fel a matematikusok érdeklődését, mert igaz volt a tapasztalatilag közvetlenül a maga teljességében nem ellenőrizhető, hiszen ahhoz, hogy két egyenesről megállapíthassuk, hogy sehol sem metszik egymást, minden határon túl kellene követni a két egyenest, s ez gyakorlatilag nem hajtató végre. Éppen ezért igyekeztek ezt az axiómát viszszavezetni a többi egyszerűbb és gyakorlatilag ellenőrizhető axiómára, vagyis megpróbálták bebizonyítani a párhuzamossági axiómát a többi euklideszi axióma segítségével. Számos kiváló matematikus foglalkozott eredménytelenül ezzel a problémával. Bolyai János több sikertelen kísérlet után arra a meggyőződésre jutott, hogy ezek a kísérletek azért nem sikerültek, mert nem is sikerülhettek: a párhuzamossági axióma nem következménye a többi euklideszi axiómának. Ezt azzal igyekezett kimutatni, hogy olyan geometriai rendszert dolgozott ki, amelyben a párhuzamossági axióma nem szerepel, amelynek tételei tehát ettől az axiómától nem függnek (abszolút geometria). Az abszolút geometria speciális esetként tartalmazza az euklideszi geometriát és egy attól különböző nem euklideszi geometriát is, amelyben tehát egy adott egyeneshez egy rajta kívül fekvő pontból az egyenest és a pontot tartalmazó síkban egynél több, az adott egyenest nem metsző egyenes húzható; ezt az utóbbi geometriát nevezik Bolyai—Lobacsevszkij-féle, vagy hiperbolikus geometriának. A két geometria lényegesen eltér egymástól: így pl. az euklideszi geometriában egy háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlő, ezzel szemben a Bolyai—Lobacsevszkij-geometriában a háromszög szögeinek összege kisebb két derékszögnél, mégpedig annál kisebb, mennél nagyobb a háromszög területe. Az euklideszi geometriában vannak nem egybevágó hasonló háromszögek, vagyis olyan háromszögek, amelyek szögei megegyeznek, az oldalak azonban nem. Bolyai—Lobacsevszkij geometriájában ha két háromszög szögei megegyeznek, akkor oldalaik is megegyeznek egymással, vagyis nincsenek nem-egybevágó hasonló háromszögek. A Bolyai— Lobacsevszkij-geometriában van egy abszolút távolság-egység, az euklideszi geometriában nincs. Bolyai János — ugyanúgy, mint elődei — eleinte azt hitte, hogy a párhuzamossági axióma érvénytelenségének feltevéséből kiindulva előbb vagy utóbb ellentmondásra jut és így közvetve bebizonyítja a párhuzamossági axiómát, ilyen ellentmondásra azonban nem jutott és így egyre inkább meggyőződött arról, hogy az új geometria logikailag ugyanolyan kifogástalan, ellentmondástól mentes elmélet, mint az euklideszi geometria. Ennek matematikai bizonyítását sem ő, sem Lobacsevszkij nem adták meg, ma azonban már matematikailag bebizonyított tény, hogy logikai szempontból a Bolyai—Lobacsevszkij-geometria éppen olyan kifogástalan és teljes, mint az euklideszi geometria. BOLYAI FELFEDEZÉSÉNEK világnézeti jelentőségét csak a valóság és a matematika viszonyának elemzése alapján érthetjük meg. A matematika — ugyanúgy, mint minden más tudomány — amióta létezik, a haladó és reakciós világnézet, a materializmus és idealizmus harctere. Különösen veszélyessé teszi a világnézeti harcnak ezt a színterét az a tény, hogy a matematika sajátos, elvont formában foglalkozik az anyagi világ bizonyos törvényszerűségeivel. Tárgyát illetően tehát a matematika közel áll a természettudományokhoz, módszerét illetően azonban azoktól lényegesen különbözik. A matematika tárgyára vonatkozólag ma is megállja helyét Engels definíciója: »a tiszta matematika tárgyát a reális világ térbeli formái és mennyiségi viszonylatai, vagyis nagyon is reális anyag alkotja. Hogy ez az anyag igen elvont alakban jelenik meg, az csak felületesen fedheti el a külső világból való eredetét. De hogy ezeket a formákat és viszonylatokat a maguk tisztaságában tanulmányozhassuk, teljesen el kell őket vonatkoztatnunk tartalmuktól, mint olyantól, amely a tárgy szempontjából lényegtelen.« MÓDSZERTANI SZEMPONTBÓL a matematika jellemző vonása az absztrakció, amint arra már Engels idézett szavai is rámutatnak. Az anyagi világ mennyiségi és térbeli formáit úgy ismerhetjük meg a maguk tisztaságában, hogy az absztrakció útján elválasztjuk ezeket az általános formákat azok konkrét megvalósulásaitól és így teljes általánosságban vizsgáljuk őket. A matematikai absztrakció lényegét világítják meg