Természet és Technika, 1953 (112. évfolyam, 1-12. szám)

1953-01-01 / 1. szám

Rényi Alfréd akadémikus: BOLYAI JÁNOS FELFEDEZÉSÉNEK TUDOMÁNYOS ÉS VILÁGNÉZETI JELENTŐSÉGE A NEM EUKLIDESZI GEOMETRIA felfedezése a matematika történetének egyik legkiemelkedőbb ese­ménye. Nemcsak arról van szó, hogy Bolyai János és N. I. Lobacsevszkij egymástól függetlenül megoldották a matematikának egyik, több mint kétezer éves alapvető problémáját. Felfedezésük új korszakot nyitott meg a matematika történetében, sőt ezen túlmenőleg előre­vitte általában az anyagi vilá­g megismerését, am­eny­­nyiben egészen új megvilágításba helyezte a matema­tika és a valóság sokrétű, dialektikus viszonyát. A ma­tematika és a valóság viszonyának kérdése az ismeret­­elmélet­ egyik jelentős problémája, amelynek helyes megértése nélkül a fizika és általában a matematikai módszerrel dolgozó exakt természettudományok ered­ményeinek értékéről sem alkothatunk helyes képet. A Bolyai—Lobacsevszkij-geometria felfedezése tehát a tudományos materialista világnézet fejlődése szem­pontjából is nagyjelentőségű esemény. AHHOZ, HOGY MEGÉRTSÜK Bolyai és Loba­csevszkij felfedezésének szerepét, meg kell ismernünk előzményeit, a geometria vázlatos történetét. A geomet­ria első rendszeres, tudományos tárgyalása Euklidesz­­től, a nagy görög matematikustól származik, az i. e. 3. századból. Euklidesz kisszámú alapfeltevésből, axió­mából indul ki, a geometria minden egyéb tételét pedig logikus bizonyítással vezeti le ezekből az alapfeltévé-­­é­sekből. Euklidesz axiómái olyan egyszerű tényeket fe­jeznek ki, amelyeket — egy kivételével — mindenki Strindig nyilvánvalónak tartott, mert mélyen a tapasz­talatban gyökereznek. Egy kivétel, Euklidesz V. posz­­ttfeátuma azonban már az óskor matematikusait is bo­­ham vizsgálatokra késztette. Ez az axióma, amelyet párhuzamo­ssági axiómának szokás nevezni, a legegy­szerűbben a következőképpen fogalmazható meg: egy adott­ egyeneshez egy rajta kívül­ fekvő ponton keresz­tül az egyenest és pontot tartalmazó síkban csak egyetlen olyan egyenes húzható, amely az első egye­nest nem metszi­k más szóval, amely azzal párhuza­mos. Ez az axióma azért keltette fel a matematikusok érdeklődését, mert igaz volt a tapasztalatilag közvet­lenül a maga teljességében nem ellenőrizhető, hiszen ahhoz, hogy két egyenesről megállapíthassuk, hogy sehol sem metszik egymást, minden határon túl kellene követni a két egyenest, s ez gyakorlatilag nem hajt­ató végre. Éppen ezért igyekeztek ezt az axiómát visz­­szavezetni a többi egyszerűbb és gyakorlatilag ellen­őrizhető axiómára, vagyis megpróbálták bebizonyítani a párhuzamossági axiómát a többi euklideszi axióma segítségével. Számos kiváló matematikus foglalkozott eredménytelenül ezzel a problémával. Bolyai Já­nos több sikertelen kísérlet után arra a meggyőző­désre jutott, hogy ezek a kísérletek azért nem sikerül­tek, mert nem is sikerülhettek: a párhuzamossági axióma nem következménye a többi euklideszi axiómá­nak. Ezt azzal igyekezett kimutatni, hogy olyan geo­metriai rendszert dolgozott ki, amelyben a párhuza­mossági axióma nem szerepel, amelynek tételei­ tehát ettől az axiómától nem függnek (abszolút geometria). Az abszolút geometria speciális esetként tartalmazza az euklideszi geometriát és egy attól különböző nem euklideszi geometriát is, amelyben tehát egy adott egyeneshez egy rajta kívül fekvő pontból az egyenest és a pontot tartalmazó síkban egynél több, az adott egyenest nem metsző egyenes húzható; ezt az utóbbi geometriát nevezik Bolyai—Lobacsevszkij-féle, vagy hiperbolikus geometriának. A két geometria lényegesen eltér egymástól­: így pl. az euklideszi geometriában egy háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlő, ezzel szemben a Bolyai—Lobacsevszkij-geo­metriában a háromszög szögeinek összege kisebb két derékszögnél, mégpedig annál kisebb, mennél nagyobb a háromszög területe. Az euklideszi geometriában van­nak nem egybevágó hasonló háromszögek, vagyis olyan háromszögek, amelyek szögei megegyeznek, az oldalak azonban nem. Bolyai—Lobacsevszkij geomet­riájában ha két háromszög szögei megegyeznek, akkor oldalaik is megegyeznek egymással, vagyis nincsenek nem-egybevágó hasonló háromszögek. A Bolyai— Lobacsevszkij-geometriában van egy abszolút távol­ság-egység, az euklideszi geometriában nincs. Bolyai János — ugyanúgy, mint elődei — eleinte azt hitte, hogy a párhuzamossági axióma érvénytelen­ségének feltevéséből kiindulva előbb vagy utóbb ellent­mondásra jut és így közvetve bebizonyítja a párhuza­mossági axiómát, ilyen ellentmondásra azonban nem jutott és így egyre inkább meggyőződött arról, hogy az új geometria logikailag ugyanolyan kifogástalan, ellentmondástól mentes elmélet, mint az euklideszi geometria. Ennek matematikai bizonyítását sem ő, sem Lobacsevszkij nem adták meg, ma azonban már mate­matikailag bebizonyított tény, hogy logikai szempont­ból a Bolyai—Lobacsevszkij-geometria éppen olyan kifogástalan és teljes, mint az euklideszi geometria. BOLYAI FELFEDEZÉSÉNEK világnézeti jelen­tőségét csak a valóság és a matematika viszonyának elemzése alapján érthetjük meg. A matematika — ugyanúgy, mint minden más tu­domány — amióta létezik, a haladó és reakciós világ­nézet, a materializmus és idealizmus harctere. Külö­nösen veszélyessé teszi a világnézeti harcnak ezt a színterét az a tény, hogy a matematika sajátos, elvont formában foglalkozik az anyagi világ bizonyos tör­vényszerűségeivel. Tárgyát illetően tehát a matematika közel áll a természettudományokhoz, módszerét illetően azonban azoktól lényegesen különbözik. A matematika tárgyára vonatkozólag ma is megállja helyét Engels definíciója: »a tiszta matematika tárgyát a reális világ tér­beli formái és mennyiségi viszonylatai, vagyis nagyon is reális anyag alkotja. Hogy ez az anyag igen elvont alakban jelenik meg, az csak felületesen fedheti el a külső világból való ere­detét. De hogy ezeket a formákat és viszonylato­kat a maguk tisztaságában tanulmányozhassuk, teljesen el kell őket vonatkoztatnunk tartalmuk­tól, mint olyantól, amely a tárgy szempontjából lényegtelen.« MÓDSZERTANI SZEMPONTBÓL a matematika jellemző vonása az absztrakció, amint arra már Engels idézett szavai is rámutatnak. Az anyagi világ mennyi­ségi és térbeli formáit úgy ismerhetjük meg a maguk tisztaságában, hogy az absztrakció útján elválasztjuk ezeket az általános formákat azok konkrét megvalósu­lásaitól és így teljes általánosságban vizsgáljuk őket. A matematikai absztrakció lényegét világítják meg

Next