Élet és Tudomány, 2001. január-június (56. évfolyam, 1-26. szám)
2001-01-19 / 3. szám
Beküldési határidő a postabélyegző legkésőbbi dátuma-január 29. A 8. FELADAT KERESZTKERDÉS Régi vágya teljesült Pistinek, amikor karácsonyra lombfűrészt kapott. Azóta egyik ügyes barkácsmunkát a másik után készíti. Most épp azt módolta ki, hogy egy fölöslegessé vált sakktáblából (2. ábra) gyertyatartókat készít. A vonalak mentén vágva öt mezőből álló, összefüggő, kereszt alakú lapokat vág ki (2. ábra), ezeket kifesti, és a közepébe ragaszt egy-egy gyertyát (3. ábra). — Csinos asztali dísz lesz belőle — ismeri el édesanyja, csinálj minél többet, hogy a vasárnapi ebédnél minden teríték mellé oda lehessen állítani egyet! Épp annyi ilyen gyertyatalpat lehet kivágni ebből a táblából, ahányan leszünk — állapítja meg némi tervezgetés után Pisti. Hányan lesznek? (4 pont) címünk: ÉLET ÉS TUDOMÁNY, A GONDOLKODÁS ISKOLÁJA, Pf. 47.1428 E-mailen: eltud@elender.hu Megjegyzések a 3. feladat megoldásaihoz Megmutattuk, hogy ha a legalább 3, mindig megadható a pozitív egész szám úgy, hogy összegük és szorzatuk egyenlő legyen. Megoldásaink szépséghibája, hogy sok egyforma számot használunk fel. Ez azonban nem küszöbölhető ki, ugyanis ha a nagyobb 3-nál, akkor a különböző pozitív egész szám összege nem lehet egyenlő a szorzatukkal. (A továbbiakban egyszerűen csak számot írunk.) Legyen az a különböző szám nagyság szerint rendezve: ai› a2¡ •••· an-l· an· akkor, amint számolócédulánkon látható: (1) szorzatuk legalább 1- 2 • ... • (n—1) • an, és (2) összegük kisebb, mint (3) Ha — fenti állításunkkal ellentétben - föltesszük, hogy számaink szorzata egyenlő az összegükkel, akkor e becslések, a 3-nál nagyobb n esetében oda vezetnek, hogy (4) az 1- 2 • ... • (n—1) szorzat egyfelől kisebb, másfelől nagyobb, mint n. Mivel (1) és (2) támadhatatlan, az ellentmondás feloldása csak a (3)-ban feltételezett egyenlőség elvetése lehet. Ez azt jelenti, hogy háromnál több szám szorzatának és az összegének egyenlősége esetén az új számok nem lehetnek mind különbözők. A bizonyításban felhasználtuk, hogy n nagyobb 3-nál. Az n=3 esetben még nincs ellentmondás: 1- 2 ■ 3 + 1+2+3. Téves azonban többeknek az a sejtése, hogy a szorzat és az összeg egyenlősége esetén a számok között legfeljebb 3 vagy 4 különböző lehet. Ha nem is lehet minden szám egyenlő, a különbözők száma tetszőleges nagy lehet. Példaként álljon itt egy olyan előállítás, amelyben hat különböző szám van. Legyenek ezek mindjárt az 1, 2, 3, 4, 5 és 6. Mivel 2- 3-4-5-6=720, és 2+3+4+5+6=20, 2 ■ 3 • 4 • 5 • 6 • (1 • 1 • ... • 1) = = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + (1 + 1 +... + 1), ahol a zárójelekben 700 darab 1-es van. Hasonló módon lehet bármennyi ilyen tulajdonságú számot megadni. A GONDOLKODÁS ISKOLÁJA Rovatvezető: Reiman István V ^ ^ , , \ \ co KlKKzlKKfclKc ~'L'*..... (1) A,+ 421- ****** | ---------------9---------------------[ (3) cz......fa-Qa* f jvxxh ~ E Z- - ft-I)\ f (4) ^ f „K a Eu&mMAtt I +—/ 1—X ' !==“ 1 ___________'h-j + d _____