Geodézia és kartográfia 1984 (36. évfolyam, 1-6. szám)
1984 / 4. szám - Soha Gábor: Geodéziai feladatok megoldása az ellipszoid izometrikus koordináta-rendszerében
ahol 1 n0 cos q)0 N0 cos Ф0 n0 COS (p0 N0 COS Ф0 m cos Aa, m sin Aa.(16) ahol az együtthatók : “ =“(1_T ) =a— a 4. A geodéziai vonal transzformációja A következőkben egy geodéziai vonal eredeti adatait kisbetűkkel, a megváltoztatott adatait pedig nagybetűkkel jelöljük. Változtassuk meg a geodéziai vonal kezdőpontját, kiinduló azimutját és az m méretaránytényezővel a hosszát : ф0~ ^0— ^0 + ^0 (14) A = a-\-Aa, S ·ms Változtassuk meg továbbá az ellipszoid méreteit (mindkét ellipszoidot az excentricités és a kezdőpontbeli harántgörbületi sugár képviselje), ekkor az egymásnak megfelelő geodéziai vonalak a (12b) képletünk kis- és nagybetűs változatai lesznek. E változatok jobb oldalait a következő azonosság segítségével lehet összekapcsolni: cos A + i sin A N0 cos ФS= -i-т, cos oí + i sin a = (I + ill)--------------------s, n0 cos cp0 (15) Az említett változatok bal oldalai rekurzív eljárással kapcsolhatók össze : az első lépésben elhagyjuk a másodfokú tagot, majd a lineáris megoldás eredményével figyelembe vesszük a másodfokú tagot is. A másodfokú megoldás eredménye : AZ(I + III) Az + E képlet a geodéziai vonal transzformációja komplex számos tömörséggel. Ha a számológépünk nem rendelkezik komplex számos aritmetikával, akkor célszerű bevezetni további két segédmennyiséget . Segítségükkel a szeparálás végeredménye : AW IAxp-^- HA X-\-III(Axp2— zl2)+IV 2 AtpAX (19) AA = I/1A+Nzl^+III 2 АхрАЯ — IV (Axp2 — АO2) A geodéziai vonalnak a (17), illetve (19) szerinti transzformációja lehetővé teszi az ellipszoidnak egy másik ellipszoidra való konform vetítését, egy geodéziai hálózatnak az ellipszoid felületén történő eltolását, elforgatását és méretarányának megváltoztatását. A gyakorlatban fontos szerepe van annak az esetnek, amikor a transzformációs együtthatókat közös pontokból számítjuk ki. Ehhez a ( 17)-ből rekurzív invertálással kifejezzük az egymásnak megfelelő Az és AZ komplex koordinátákból meghatározható együtthatókat : _ . - · AZ (, . sin wn sin Ф„ I-Hu=—— ^1 +Az —~-^- — AZ ——-—2—1 (20) Az=Axp+iAA, AZ=A¥+iA2. Az együtthatók kiegyenlítéssel történő meghatározását a [7] példával együtt részletesen ismerteti. Az együtthatók felbontása az eredeti paraméterekre : Ha kezdőpontnak az egymásnak megfelelő ismert pontok koordinátáinak számtani közepét vesszük fel, akkor az utóbbi műveletekkel előnyösen végezhetünk hálózatvizsgálatokat (illeszkedés, hálózathomogenitás, esetleges meghatározási, illetve azonosítási hibák megállapítása). 5. A meridián ívhossza izometrikus szélességgel A λ p és xp hiperbolikus kapcsolata alapján az ellipszoid meridiánjának ívhossza : 480 2048 49 561 -----------e8 322 560 valamennyi együttható dimenziója méter, a az ellipszoid fél nagytengelye. Példa : a = 6 378 245 m, e2 = 6,693 4216 23 Ю“3 xp = 1,005 5490 011 rád (^ = 50°) arc sin th xp = 0,869 3579 415 rád (!) a = 6 367 558,49695 535 687,547 1 ß= 10 686,503 15 268,096 6 У= -38,9922-11,217 2 ô= 0,24690,041 4 e= -0,0020-0,000 2 Sm =5 540 944,468 m 6. Az ellipszoid transzverzális hengervetülete izometrikus koordinátákkal A transzverzális hengervetület egyenleteit igen egyszerűen úgy kapjuk meg, hogy a (22) alatti összefüggést izometrikus komplex változókra általánosítjuk. A szükséges helyettesítések : sm=a arc sin th ip + ß. th5 w + Йeh xp + {(I + iII)2 —^-(I + ilI)—^-}zlz2 (17) Ilb (I2—II2) sin Фп — I sin <p0 (18) j y_H sin ç>0-2III sin фо 2 i tg Aoc II I ’ N0 cos Ф() Пд COS (рдIl2+ II2(21) 2 —— e4- 64 У =“«(; =a( e = — a thV ch 1p th7 xp eh xp + У-th3xp eh xp+ (22) 175 13 у 59 — e4 -i-------e6 + 96 384 24 576 61 , 609 A eR + e81 10 512 ' 16 384 3921 es| e8(23) 241