Geodézia és kartográfia 1984 (36. évfolyam, 1-6. szám)

1984 / 4. szám - Soha Gábor: Geodéziai feladatok megoldása az ellipszoid izometrikus koordináta-rendszerében

Geodéziai feladatok megoldása az ellipszoid izometrikus koordináta-rendszerében Dr. Soha Gábor mérnök alezredes DK 528.236.1.063 Az ellipszoid felületén egy pontot leggyakrabban a cpt X földrajzi koordinátáival adunk meg. A szélesség helyett azonban használhatjuk a belőle számítható xp izometrikus szélességet is. Az utóbbi­nak matematikai szempontból előnye, hogy diffe­renciális tulajdonsága megegyezik (izometrikus) a hosszúságéval. Izometrikus koordináta-rend­szerben számos geodéziai feladat szerkezeti, ér­telmezési és ennek folytán levezetési előnyökkel oldható meg (összevonásokra, illetve egyszerű­sítésekre adódik lehetőség). Jellemző példaként említhető a szögtartóság alapegyenletének leve­zetése és alkalmazásmódja. Korábban az említett előnyöket a kétféle széles­ség közti átszámítás nehézségei miatt nem tudtuk teljes egészében kihasználni. E tanulmányban azt vizsgáljuk, hogy a korszerű számítástechnika milyen továbblépést tesz lehetővé a koordináta­rendszer-váltások problémájában és ennek ered­ményeként az izometrikus koordináta-rendszer hatékony és széles körű felhasználásában az ellip­­szoidikus geodéziai feladatok megoldása területén. Az izometrikus koordinátákkal történő számí­tásnak gazdaságos matematikai eszközei a hiper­bolikus függvények, illetőleg a komplex változás függvények. Mivel előfordul, hogy ezek még nem szerepelnek a számítógép függvénykészletében, kitérünk a programozásukhoz szükséges legfon­tosabb formulákra is. 1. Az ellipszoid izometrikus szélessége Az [5] alapján a xp izometrikus szélesség leg­ismertebb képlete a következő : (1)-I-­e sm­ap­e az ellipszoid első excentricitási paramétere. Mivel a logaritmusfüggvények és a hiperbolikus függvények közt fennáll a (2) azonosság, 1 , l+x­т'"г=5= Art­ha:,(2) felírható egy kevésbé ismert, de egyszerűbb szer­kezetű képlet : xp = Arth sin xp — e Arth (e sin g>) (3) Az inverz képlet zárt formában nem írható fel, az alábbi átrendezett alakra azonban jól konver­gáló ciklusprogram készíthető : Ç sin (p = th \xp-\-e Arth (e sin <p)] (4) Az első ciklusban a jobb oldalon a keresett széles­ség nullának veendő, majd minden ciklus ered­ménye a következő ciklus kiinduló értéke. A ne­gyedik ciklusra az eredmény beáll. Ha szükség van rá, akkor exp 2æ—1 . , . . ,,----­thar=-----—----—, гthx=tgгa,, i= 1 — 1 (5) exp 2x+1 6 w Vetülettani levezetésekben használatosak Axp és Axp hatványsorai is, azonban ezek rosszul konvergálnak. Az egész értelmezési tartományt felölelő konvergens hatványsort a (4) ellipszoidikus tagjának invertálására szintén hiperbolikus függ­vénnyel lehet adni : A=e Arth (e sin y)—(e2 + e4 + ee + e8) thy — — (2 e4 + 5 ee+ 0 e8) th3y +a (6) + A (13 ee + 53 e8) th5 ш - 4?— e8 th7 xp, 15 315 sin qp=th (xp + A) Példa : e =8,181 3334 02 -КГ2 <p =42° 19' 53,2714” xp =0,812 4602 529 rád = 46 ° 33' 01, 9567” az inverz számítás négy ciklussal : 1. 0,670 9452 207 = th xp 2. 0,673 4095 093 3. 0,673 4185 511 4. 0,673 4185 843 = sin­g· xp =42° 19' 53,2714” az ellipszoidikus tag hiperbolikus hatványsora: A = 0,006 7385 254 th xp -0,000 0303 737 tg3 xp+ + 0,000 0002 670 tg5 xp- 0,000 0000 028 th7 xp a példában : A ± 0,004 5120 435, segítségével p p-re ugyanazt az eredményt kapjuk. A további fejezetekben a kétfajta szélesség és a hosszúság jelölésére használni fogjuk а Ф, 41, a nagybetűs jelölésmódot is: a kis és nagy betű mindig két alapfelületi rendszert különböztet meg a feladatnál megadott értelmezés szerint. 2. Áttérés a Gauss-féle simulógömb izometrikus koordináta-rendszerére A Gauss-féle igen kis hossztorzulású szögtartó gömbi vetület [5]-beli vetületi egyenleteinek az (1) képletünkkel való összevetésével belátható, hogy a gömb xp, X és az ellipszoid W. A izometrikus koordináta-rendszere között rendkívül egyszerű a vetületi kapcsolat . r­

Next