Geodézia és kartográfia 1986 (38. évfolyam, 1-6. szám)

1986 / 4. szám - Soha Gábor: Robusztus kiegyenlítés mérési javítástól függő súlyozással

képp a k abszcisszája pontban kezdődik, ahol a súly az egységről ugrásszerűen a p = 0,367 . . . értékre esik, majd aszimptotikusan a nulla érték­hez tart. A k együtthatók a visszacsatoló súlyozás erősségének tapasztalati beállítására szolgálnak. A p a középhiba, értékét tapasztalati úton vesszük fel. Jóllehet a reciprok súlyfüggvény alkalmazása tűnik legnyilvánvalóbbnak, itt mégis el kell vetni, mert nulla értékű hibáknál végtelen nagy súlyokat kapnánk, ami a numerikus problémák mellett ki­elégíthetetlen kényszerfeltételeket okozna. Az ere­deti dán módszerben Krarup a (2c) súlyozást ajánl­ja, ahol k általában 3. Ebből a módszerből dolgoz­ták ki a (2b) súlyozást, ahol a geodéziai számítá­sokhoz a ^ = 0,05 és &2 = 4,4 paraméterpárt talál­ták megfelelőnek. A (2b) és (2c)-re vonatkozó ajánlásoktól eredeti­leg független vizsgálatainkban a racionális tört­­függvény hatékony súlyfüggvénynek bizonyult. A hibafüggő súlyozásban a fő nehézség abban áll, hogy magukat a hibákat kezdetben nem ismer­jük, hiszen éppen a meghatározásuk a feladat. Tehát egy implicit matematikai problémával állunk szemben. Megoldására az iterációt választ­juk: először megoldjuk a kiegyenlítést hibafüggő átsúlyozás nélkül, majd a kapott mérési javítások­ból (2d) alapján első közelítéssel számítjuk a hiba­függő súlyokat. Az indexeléssel az iteráció folya­matát fejezzük ki. ____1 1 +kv? t~i (2d) Ezekkel megismételjük a kiegyenlítést a súlyvál­tozások további helyesbítése érdekében. Az ilyen ciklusos feldolgozás korszerű számítástechnikai eszközön könnyen szervezhető. Megjegyzés: Ha az első kiegyenlítés különböző dimenziójú, illetve különböző megbízhatóságú mé­rések miatt súlyozott volt, akkor a javításfüggő átsúlyozást a v­­­­rpm -v homogenizált hibákkal [15] kell elvégezni, ahol pm a mérési súly. Az ismételt kiegyenlítést pedig a mérési súlyok és a javítás­függő súlyok szorzataként kapott súlyokkal hajt­juk végre. Csak az iteratív feldolgozás befejezté­vel szabad visszatérni az inhomogén javítások ki­mutatására. 3. Konvergenciafeltételek A kiegyenlítés javításfüggő átsúlyozása akkor konvergál, ha biztosítva vannak a kiegyenlítés általános követelményei ( kellő számú fölös mérés, kedvező geometriai elrendezés, az elfogadhatatla­nul durva hibák előzetes észrevétele), s ebből adó­dóan az első kiegyenlítés már első közelítésű jelzést tud adni a szélső hibákra; továbbá, ha biztosítva vannak a módszer speciális követelményei, a meg­felelő alakú súlyképlet és a benne szereplő együtt­ható helyes megválasztása. A speciális követelmények teljesülésére geodéziai példákon beható vizsgálatokat végeztünk. A (2d) súlyképletben a­z együtthatót úgy célszerű meg­választani, hogy a gyanús hibákra peso,25 súly jusson. Ez akkor teljesül, ha ahol vac a kiugró hibák küszöbértékének tekintett hiba. Ha a küszöbértékre nincs a priori ismeretünk, akkor az első kiegyenlítés súlyegység-középhibája lehet a támpont: F-M. ,4, (mérési súlyok alkalmazásakor a homogenizált hibákból ugyanezzel a képlettel számítjuk). Az­­ a fölös mérések száma. Esetek: i'max 3 //f,. r,i = 3 po· 3 po |^max 2 po) V/c = 2 po, (6) 2 po · Po· Vk—po­ A megadott feltételek megléte esetén a vázolt iterációs kiegyenlítés a (2d) súlyképlettel konver­gens. Az ismétlési számmal szembetűnően növek­szik a kiegyenlítés robusztus jellege, a domináns és látens szélső hibák elkülönülése. A­z együttható felvételére az eljárás az ajánlott támpontok be­tartása esetén nem érzékeny; kismértékben a kon­vergencia gyorsaságára van befolyása. Az első ismétlésekben a konvergenciát gyorsíthatjuk, ha a (2d) képletben a javítás harmadik hatványával dolgozunk. Ekkor a súlyképlet a következő: A harmadik iterációban a (2e) erős visszacsatoló hatása már divergenciát, illetve a határérték körüli oszcillálást okozhat, ezért vissza kell térni a (2d) súlyképletre. Megjegyzés: A [9] megemlíti, hogy az eljárás konvergenciájának mértéke függ a feladat típusá­tól és a kiugró értékek százalékos arányától, s ennek megfelelően a különböző feladatokra más­más súlyfüggvényt ad meg. Mi a feladat típusának figyelembevételét az (5)-tel beépítjük a megoldás algoritmusába. Úgy látjuk, hogy a felsorolt súly­függvények gyakorlati változatként közelítik a robusztus kiegyenlítés problémáját. Azonos ta­pasztalatra utal, hogy a [9] a (2b) súlyfüggvény­­­nél a 4. iterációtól mérsékli a visszacsatolás erős­ségét, a k2 paraméter értékét 3,0-ra módosítja. 4. Kritikai megjegyzések és bizonyítási lehetőségek A robusztus módszerekkel szemben az egyik leggyakoribb kritikai észrevétel, hogy e módsze­reknek nincs kellően tisztázva a statisztikai hátte­rük. A nehézség abban áll, hogy a kiugró értékeket tartalmazó mérések eloszlása szennyezett normális eloszlás, illetve kevert eloszlás [8]. Ezek matema­tikai kezelése sokkal bonyolultabb, mint az egyes speciális és egyben matematikai egyszerűsítést jelentő eseteké. _________1____ 1 + k ■ I 3 ’ ahol k —3 I Vk I 3(2e) 'Pi = (3)

Next