Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, 2005 (55. évfolyam, 1-9. szám)
2005-12-01 / 9. szám
romszögek hasonlóságából következik, hogy ha bármelyikükben tekintjük a 60-os szöget bezáró két oldal összegének és az Xi típusú oldalnak az arányát, akkor minden esetben ugyanazt a a számot kapjuk. A háromszög-egyenlőtlenség miatt fcn 1 is fennáll, írjuk fel az eredeti szabályos háromszögek kerületét az Xi-k és τ segítségével. Az egyik háromszög kerülete x\ + h.r2 + x3 + kx 4 + хъ + kx 6, míg a másiké X2 + kx 3 + x± + kx 5 + xq + kxi. Mivel a két háromszög egybevágó, azért a kerületük egyenlő, azaz X\ + kx 2 + X3 + kx 4 + X5 + кхв = X2 + kx3 + X\ + kx3 + X3 + kx\, amiből rendezve kapjuk, hogy (1 — k)(x 1 - X2 + X3 — Xi + X5 — x6) — 0. Mivel к + 1, azért ebből következik, hogy Xi + X3 + X5 = X2 +X4 + x6, vagyis a hatszögben a másodszomszédos oldalak hosszának összege egyenlő és ezt kellett bizonyítanunk. Szilágyi Csaba (Szeged, Radnóti M. Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján 63 dolgozat érkezett. 4 pontot ért el 49 versenyző: Árvay Anna, Baranyai J. Attila, Beck Zoltán, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Eckert Bernadett, Estélyi István, Gehér György, Gombkötő Tamás, Grósz Dániel, Gyenizse Gergő, Halász Veronika, Hartmann Zoltán, Hujter Bálint, Ildrin Gasimov, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kisfaludi-Bak Sándor, Kiss Viktor, Kiss-Tóth Christian, Knipl Diána, Komáromy Dani, Kornis Bence, Koszta Botond, Kovács Péter, Lovász László Miklós, Mátyás Péter, Müller Márk, Nagy- Baló András, Németh Zsolt, Páldy Sándor, Pap Máté, Pesti Veronika, Rábai András, Sommer Dániel, Strenner Balázs, Szabó Levente, Szálkai Balázs, Szalóki Dávid, Szegvári Gábor, Szentandrási István, Szilágyi Csaba, Szilágyi Dániel, Szirmai Péter, Szlama Adrián, Szudi László, Török Péter, Udvari Balázs, Üveges Lilla. 3 pontos 6, 2 pontos 2, 1 pontos 4, 0 pontos 2 dolgozat. B. 3807. Legalább hány csúcsa van egy olyan gráfnak, amelyben nincs 6-nál rövidebb kör és minden csúcsának a foka 3 ? (5 pont) Megoldás: Megmutatjuk, hogy a gráfnak legalább 14 csúcsa van, és 14 csúcsú, a feltételeknek megfelelő gráf van is. Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, 2005/9 538