Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, 2009 (59. évfolyam, 1-9. szám)

2009-01-02 / 2. szám

Általában olyan görbék meghatározása volt a feladat, amelyeket egy adott „ré­szecske” bizonyos kényszererők hatására leír. Talán az egyik legismertebb a Johann Bernoulli (1667-1748) svájci matematikus által felvetett brachisztochron probléma: határozzuk meg azt a görbét, amely mentén (súrlódásmentes esetet feltételezve) egy golyó az állandó nehézségi erő hatására a leggyorsabban legurul. Johann és testvére, Jakob Bernoulli (1654-1705) rengeteg hasonló kérdést vetett fel és ta­nulmányozott. Az isochrona paracentrica probléma a következő volt: melyik az a görbe, amely mentén leguruló test egyenlő időközök alatt egyenlő utakat tesz meg. E probléma vizsgálata során jutott el Jakob 1694-ben az alábbi egyenlethez: (6) (x2 + y2)2 — 2a2(x2 — y2). Jakob a görbét egy „elfordított nyolcashoz” hasonlította és lemniscusnak nevezte el, amely görögül szalagot jelent. A fenti egyenlettel meghatározott görbét, amelyet (Bernoulli-féle) lemniszkátának szokás hívni az 1. ábra szemlélteti. 2. feladat: írjuk fel a lemniszkáta polárkoordinátás egyenletét, azaz végezzük el az x = r costp, у = r sin<p helyettesítést, ahol 1 ^ 0, 0 < <p < 2т [UNK], majd ellenőrizzük az 1. ábrán a görbe alakjának helyességét. Valójában ez a görbe már néhány évvel korábban ismert volt. Giovanni Domenico Cassini (1625-1712) olasz matematikus és csillagász a Nap és a Föld egymáshoz viszonyított mozgásának tanulmányozása során 1680-ban a később róla elnevezett Cassini-féle oválisokat vizsgálta. Úgy gondolta, hogy a Nap a Föld körül egy olyan ovális pályán kering, amelynek két, egymástól 2a távolságra lévő fókusz­pontja van (az egyikben éppen a Föld helyezkedik el) és a pálya mentén lévő pontok két fókuszponttól mért távolságainak szorzata állandó (b2). 3. feladat. Mutassuk meg, hogy az a × b speciális esetben a Cassini-féle ovális éppen a Bernoulli-féle lemniszkáta. Más szóval, azon pontok mértani helye a síkon, amelyeknek az egymástól 2a távolságra lévő (—a, 0) és (a, 0) fókuszpontoktól mért távolságainak szorzata a 2, a (6) egyenlettel leírt lemniszkáta. Jegyezzük meg, hogy ha a két fókusz­ponttól mért távolságok szorzata helyett a távolságok összegét követeljük meg állan­dónak, akkor egy ellipszist kapunk (amely­nek fogalmát Menarkhmosz görög mate­matikus már i.e. 350 körül bevezette). Térjünk most vissza az említett mechanikai-geometriai jellegű feladatok­hoz. Az alkalmazások miatt e problémák tanulmányozása nemcsak a testek moz­gását leíró görbék egyenletének felírását jelentette, hanem ezen túlmenően fontos kérdés volt a görbék tulajdonságainak vizsgálata is, többek között az ívhosszuk meghatározása. A lemniszkáta ívhosszára Jakob Bernoullinak sikerült egy formu­lát felírnia. Az egyszerűség kedvéért a (6) egyenletben válasszuk az a paraméter 1. ábra Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, 2009/2 77

Next