Katolikus főgimnázium, Lőcse, 1854
Jä. lieber bie pdjanMum] i n c 0 mmc n J u r a b ler lkitnu^rißen. SSotl Dr. Josef Johann Nejedliv f *-f"]£.]£*• OBEB IffiáljSCBl-h* j T1V.TÍ mk-TBEIESI KarSTSIíViíí ! ,3HSB502MBEIE] r oci1 OFEN @inleitenbe S8 e w e r S u n g c n. §• 1. «©ie Anmenbung bee Algebra auf bie ©eomefrie, unb jmar namentlich bie 2ehre oon ben Berhältnipen unb Proportionen ber Staumgrőpen in bem galle, roo biefelben unter einanber incommcnfurabel ft'nb, ge= hört ftd)er unter jene Partpieen bér SOtathematif, bie noch einer fefteren mipenfcpaftlichen Begrünbung bes bürfen. Sie S£l?eorie ber SSer^altnipe unb Proportionen mirb in bér Algebra gemőpnlid) nur in Bejug auf ganje unb gebrodene 3af)len bepanbelt, unb eö finbet fd)on Ääftner in ber Borrebe jur erften Auflage feiner „Anfangögrünbe ber Arithmetif, ©eomefrie, Trigonometrie unb Perfpectio" tabelnömerth, bap „felbjl Scpriftflelier, bie fd)arf ermeifen, Sä|e, bie für ganje Sailen ermiefen ftnb, ohne julängliche Stecptferti* gung allgemein giltig annepmen"; unb eő 1)at unter ben neueren mir befannten 2eptbüd)ern nad) meinem ©rächten bie Berpaltnipe incommenfurabler Staumgrőpen feineö mit mepr «Scharfe bepanbelí, alő Ääflner. Allein aud) feine Theorie erfreut ftd) ber notpmenbigen Allgemeinheit nid)t; benn er beruft fiep auf bie in ber Algebra oorgetragene Sehre oon ben Berpaltnipen, melche jebod) nur bie oon SBurjelgröpen perrübren* ben S^ational«Berpättnipe behanbelt, auf melche fid) incommenfurable Staumgrőpen benn boch nicht immer jurüd'füpren lapén, unb felbfl bie Begrünbung ber gebachten SrrationaUBerpaltnipe mirb nur burdh nad)= flepenbe Argumentation erlebigt: „Sie 2eprfä|e oon ben Siationaljaplen fann man allezeit aud) auf biefe Srrationaljaplen anmenben, menn man nur fe|t, bap biefe Näherung ohne ©nbe fort gefepepen főnné. Senn man fann bie Srrationaljapl alő auö jmei Stűcíen jufammengefe^t anfehen, baoon baö eine, ihr Anfang, rational ifi, unb ftd) nad) ©efallen forttreiben lápt, fo bap baő anbere Stűcf, ipr ©nbe, melcpeő in ool= liger Scharfe immer unbefannt bleibt, boch Heiner mirb, alő jebe angegebene ©rope. So betragtbaő, maö an \T'J fehlt, meniger alő O-OOOOOl (menn man nämlich feepő Secimalflellen entmicfelt.) @ö fei alfo X eine Srrationaljapl, A ihr rationaler Anfang a ihr unbefannteő ©nbe, fo mup alléé oon X mahr fein, maö oon einer unbefiimmten Stationaljapl mié A, mahr ifi; benn biefeő A fann einen fo beträchtlichen $f)eil »on X auőmad)en, alő man mill, gegen melden a immer fleiner unb fleiner merben, unb alfo ju reben, oerfehminben fann." — — ,,S<P pabe biefe Betrachtungen bepmegen auőfűbrlicper oorgetragen, urn ju jeigen, bap gemipe Sa|e nicht nur oon gangen 3aplen, fonbern oon allen überhaupt richtig ftnb. Sie meifien Schriftfieller nehmen biefe Allgemeinheit ohne Bemeié an, melcf>eő mir nicht forgfältig genug oer= fahren fepeint." SBenn nun bieö Stäfonnemenf auch geeignet fein mag, oon ber barin auögefprocpenen Behauptung eine fubjectioe Ueberjeugung }u oerfchaffen, fo bürfte eö boch auf ben Stamen eineő Bemeifeő faum An» fpruep machen. Sebenfaílő ifi aber baő Beflreben Ääfiner’ö, fo mié auch ber neueren ßeprbücper, bie, mié baő oon Äoppe oerfapte, biefem ©egentlanbe eine grőpere Aufmerífamfeit mibmen, anjuerfennen j befon* berő, menn man erträgt, an melchen Mängeln bie gemőhnlichen Bemeiöffiprungen für incommenfurable Staunt* grőpen leiben, mié bieő beifpielőmeife an einem Bemeife gegeigt merben mag. Ser ßeprfap: „Sn einem Sreiede ABC fepneibet bie jur ©runblinie AB parallele DE bie beiben anbern Seiten proportioning mirb, naepbem er für ben gall, bap bie Seitenabfcpnitte unter einanber commenfurabel ftnb, birect ermiefen mor« pen, bttreh folgenbe Scplüpe für incommenfurable Abfcbnitte inbirect ermiefen. SDtan nimmt nämlich per absurdum an, bie oier Abfcpnitte feien nicht proportionirt; eö müpe bann aber einen Punft F geben, in melcpem bie Seite BC im Berpaltnipe AD:CD getheilt ifl, ferner müpe, menn man BC in mehre gleiche, unb hinlänglich fleine Tpeile tpeilt, menigftenő ein Theilungőpunft G jraifepen E unb F fallen. Stun benft man ftd) burep jenen Sljeilungépunít G, GH parallel ju AB gezogen, unb folgert bie Proportion: CH: CG=AC: BC, anbe* rerfeitö folgert man auö ber Annahme CD: CjF—AC: BC, unb auö biefen Proportionen bie beiben folgenben CH: CG—CD: CF, CH: CD—CG: CF, ba aber ^1, ^ 1 ifl, fo fcpließt man, bie lepte Proportion fei I.