SZTAKI Közlemények 8. (1972)

Arató Mátyás — Benczúr András: Szimulációs eredmények az elemi Gauss folyamat paraméterei becsléseinek eloszlására

1. § . A LIKELIHOOD FÜGGVÉNY A £(t) időben folytonos stacionárius, Gauss-Markov folyamat az M£(t) = m, M(£(t) — m) • (£(t + t) — m) = a2 •­­-л-^ összefüggésekben szereplő m, a2, X paraméterekkel jellemezhe­tő (m tetszőleges valós, X ( 0). Ismeretes, hogy a a2 = 2Xa2 paraméter a ?(t), 0 a t , T folyamat egy realizációjából 1 valószínűséggel becsülhető (Baxter tétele). A folyamatot jellemző két paraméternek a X és m mennyiségeket tekintjük, mivel a (1.1) t = t' • T, f(t)= f(t') • p-e • Vt leképezéssel az általános feladatot a ρ­­ =1 és T = 1 esetre vezethetjük vissza. A továbbiak­ban ezért a realizációkat mindig a [0, 1] intervallumban vizsgáljuk. A két paraméter együttes becslése eloszlása megvizsgálását Kolmogorov vetette fel 1948-ban Jerevánban. Részbeni megol­dást — amikor is egyetlen ismeretlen paraméter van — adnak Arató [1], [2], valamint Benczúr [1] és Arató-Benczúr [1] cikkei. Az időben folytonos folyamatról jól ismert, hogy kielégíti a dÉ(t) = - П • dt + de(t) sztochasztikus differenciálegyenletet. A továbbiakban szükségünk van a következő tételre: 1. Tétel: A £(n) reguláris folyamat akkor és csak akkor stacionárius Gauss-Markov típu­sú, ha kielégíti a (1.2) £(n) = p£(n - 1) + e(n) differencia egyenletet, ahol e(n) egy független Gauss sorozat. Az 1. Tétel alapján az időben folytonos folyamat diszkrét £(пД) megfigyelései, (Д­­ 0 és n = 0, ± 1, ± 2, . . .), kielégítik a (2) összefüggést, ahol a~\-A1 , (1 — e~2x'A ) — , az = -------------------2X e 2X A (2) összefüggés módot nyújt az időben folytonos folyamat pontos imitálására számológépen. A |(t), 0 - t A 1 realizációk terén értelmezett Px Gauss-Markov mérték, valamint a V­­ L X W standard mérték, ahol L a Lebesgue, W pedig a feltételes Wiener mérték Radon — Nikodym deriváltja (lásd Arató [2]) dP (1.3) — (|(1)) dv = V— exp [(|(0) - m)2 + (­(1) - m)2 - 1 + X | (|( 1 ) — m)2ds]l = f ír l 2 p 1 - 4 -

Next