Studia Scientiarium Mathematicarum Hungarica 3. (1968)

1-3. szám - Hornich H.: Lineare partielle Differentialgleichungen von hoher Ordnung

1 Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 3 (1968) 1—4. LINEARE PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN VON HOHER ORDNUNG von H. HORNICH Wie kürzlich gezeigt [1], gibt es auf einem Intervall des 9Î t Funktionen v £ C“, für welche zu jedem K>0 eine Folge natürlicher Zahlen (v,, v2, ...) existiert, so daß y keiner Differentialgleichung (l) уы+и2ъут = <Р i=0 mit integrierbaren Koeffizienten at,q> und |<т;| <К, |<p|<K genügt, wenn n eine der Zahlen vk ist. Zum Beispiel sind alle im Intervall nicht regulären Funktionen C°° sogar für jede hinreichend große Ordnung n nicht Lösung einer solchen Differen­tialgleichung. Für reguläre Funktionen gibt es eine Größe, die darüber entscheidet, ob die Funktion die obige Eigenschaft besitzt oder nicht [2]. Im folgenden sollen diese Sätze auf Funktionen von mehreren Variablen, bzw. auf lineare partielle Differentialgleichungen übertragen werden, was wegen der Anzahl der dabei auftretenden Glieder einer solchen Differentialgleichung einiger Aufmerksamkeit bedarf. In einem Gebiet G des 9I„ sei 9Î die Klasse der linearen partiellen Differential­­glichungen, die ein einziges Glied höchster Ordnung haben, dessen Koeffizient 1 sei. Sei (vl ..., v„) = (v) ein и-Tupel ganzer Zahlen 0 und v = vt + v2 +... + v„, so schreiben wir die Ableitung v-ter Ordnung und die Differentialgleichungen aus 91 wobei die Summe über alle /j-Tupel (k) mit Ordnungen k<v erstreckt werden soll. Die Koeffizienten a(fc) und (p sind Funktionen in G, die wir als beschränkt annehmen. Die Klasse der auf G beliebig differenzierbaren Funktionen sei wieder C°°. Sei für eine Funktion и(С" und einen Punkt p£G und ein w-Tupel (v) Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 3 (1968) dvu dvu dx\‘ ... &C = (2) dvu | dku d^+áiCC(k)d^ ~ v d'u 1/v_ I dx<v> <v)’ MAGTAB ÍIXCMANYOS AKADEaa*, кооттадад

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