Oktatási Közlöny, 2001. január-június (45. évfolyam, 1-16. szám)
2001-01-25 / 1. szám
1. szám OKTATÁSI KÖZLÖNY 3 Módszerek a primitív függvény kiszámítására, az integrál alkalmazásai, terület-, térfogat-, ívhosszúság-számítás, fizikai alkalmazások. Többváltozós függvények folytonossága, határértéke. Parciális deriváltak. Lokális szélsőérzékhelyek. Inverz függvénytétel. Implicit függvénytétel. Végtelen sorok konvergenciája, divergenciája. Konvergencia kritériumok. Függvénysorozatok és sorok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Hatványsorok. Taylor-sor. Lebesgue-mérték és integrálelmélet absztrakt és euklidészi terekben. Komplex számtest. Komplex függvények. Analitikus függvények. Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok. Deriválhatóság, együttható formula. Egyszerűbb egész függvények hatványsora. Pálya menti integrál. Cauchy integráltétel. Goursadlemma. Taylor-sor. Liouville-tétel. Laurent sorok, residuum-tétel és alkalmazásai. Funkcionálanalízis. Metrikus terek, teljesség. Banachterek. Hahn-Banach-tétel, Banach-Steinhaus-tétel. Nyílt leképezés tétele. Duális terek, reflexív terek. Teljesen folytonos operátorok. Spektrum. Hilbert-terek. Riesz reprezentációs tétele. Fourier-sorfejtés Hilbert-téren. Parseval-egyenlőtlenség. Besselegyenlőtlenség. Differenciálegyenletek. Közönséges differenciálegyenletek. Egzisztencia és unicitás tételek. Elsőrendű közönséges differenciálegyenletek. Paraméteres differenciálegyenletek. A kezdeti értéktől való függés. Karakterisztikus függvény. Lineáris differenciálegyenletek elmélete. Differenciálegyenletek stabilitása. Banach-féle fixpont tétel és alkalmazásai. Alkalmazott matematika Valószínűségi változók és vektorváltozók eloszlása, eloszlásfüggvénye. Abszolút folytonos eloszlás, sűrűségfüggvény. Függetlenség: események, valószínűségi változók. Függetlenség véges dimenzióban az együttes eloszlásfüggvény, illetve sűrűségfüggvény segítségével. A Kolmogorov-féle 0 vagy 1 törvény és következményei. Várható érték egy- és többdimenzióban, tulajdonságai. Szórás, kovarianciamátrix. Medián. 1 valószínűségű, sztochasztikus és Lp-konvergencia, kapcsolatuk. Nagy számok gyenge és erős törvényei. A mértékek gyenge konvergenciája. Cramer-Szluckijlemma. Karakterisztikus függvény és alapvető tulajdonságai. Inverziós formulák. Eloszlásbeli konvergencia, folytonossági tétel. A centrális határeloszlás-tétel. Lindeberg-Feller-tétel. Ljapunov tétele. A feltételes várható érték és feltételes valószínűség általános fogalma. Legegyszerűbb tulajdonságok, konvergencia-tételek. Jensen-egyenlőtlenség. Független valószínűségi változók összegének konvergenciája. Tapasztalati eloszlás, tapasztalati eloszlásfüggvény, tapasztalati becslések, Glivenko-Cantelli-tétel. Elégségesség, Neyman faktorizációs tétele. Fisher-féle információ, függetlenek együttes információja, statisztika információja, információ és átparaméterezés. Pontbecslések: torzítatlanság, hatásosság, megengedhetőség, minimaxitás. Rao-Blackwell-tétel. Teljesség. Cramer-Rao egyenlőtlenség. Becslési módszerek: momentum-módszer, maximum likelihood becslés. A ML-becslés aszimptotikus tulajdonságai. Bayes-becslések, megengedhetőség, minimax tulajdonság, torzítatlanság. Hipotézisvizsgálati alapfogalmak. A Neyman-Pearson-lemma. Az erő aszimptotikája. A normális eloszlása paramétereire vonatkozó klaszszikus próbák: u-, t- és F-próba, Fisher-Bartlett-tétel. Khi-négyzet próbák diszkrét illeszkedés-, homogenitás- és függetlenségvizsgálatra. Becsléses illeszkedésvizsgálat, Fisher tétele. Nem paraméteres próbák: illeszkedés- és homogenitás vizsgálat folytonos esetben. Többdimenziós normális eloszlás. A paraméterek becslése és azok tulajdonságai. Regresszió, lineáris regresszió, korlátos rangú regresszió. Lineáris modell, becslés és hipotézisvizsgálat lineáris modellben. Szórásanalízis. Véges állapotú Markov folyamatok. Az állapotok osztályozása. Visszatérőség. Pozitív állapotok. Ergod tételek. Poisson folyamat. Elágazó folyamatok. A kihalás valószínűsége. Felújítási folyamatok. Elemi felújítási tétel. Invariancia elv, Wiener folyamat. Véges automaták, kontextus-mentes nyelvek. Ritkamátrix-technológiák (tárolás, feltöltődés, rendezések). Nevezetes mátrix transzformációk (lineáris rendszerek, illetve sajátérték feladatok megoldására). Gauss-elimináció és változatai (algoritmusai, műveletigénye, főelemválasztás, inkomplett Gauss-elimináció). Mátrixok felbontásai (Schur, LU, LDU, Cholesky, QR). Lineáris és nemlineáris rendszerek iteratív megoldása (Gauss-Seidel, konjugált gradiens, Newton-módszer, lokális és globális konvergencia, Broyden-módszer). Sajátérték feladatok (hatványmódszer, inverz iteráció, eltolás, QR). Interpolációs és approximációs feladatok (Lagrange, Hermite, spline; Csebisev-approximáció). Integrálok kiszámítása (Pólya-Sztyeklov-tétel, interpolációs és Gauss-típusú képletek).