Oktatási Közlöny, 2001. január-június (45. évfolyam, 1-16. szám)

2001-01-25 / 1. szám

1. szám OKTATÁSI KÖZLÖNY 3 Módszerek a primitív függvény kiszámítására, az in­tegrál alkalmazásai, terület-, térfogat-, ívhosszúság-szá­­mítás, fizikai alkalmazások. Többváltozós függvények folytonossága, határértéke. Parciális deriváltak. Lokális szélsőérzékhelyek. Inverz függvénytétel. Implicit függvénytétel. Végtelen sorok konvergenciája, divergenciája. Kon­vergencia kritériumok. Függvénysorozatok és sorok pon­tonkénti és egyenletes konvergenciája. Hatványsorok. Taylor-sor. Lebesgue-mérték és integrálelmélet absztrakt és eukli­­dészi terekben. Komplex számtest. Komplex függvények. Analitikus függvények. Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványso­rok. Deriválhatóság, együttható­ formula. Egyszerűbb egész függvények hatványsora. Pálya menti integrál. Cauchy integráltétel. Goursad­­lemma. Taylor-sor. Liouville-tétel. Laurent sorok, residuum-tétel és alkalmazásai. Funkcionálanalízis. Metrikus­ terek, teljesség. Banach­­terek. Hahn-Banach-tétel, Banach-Steinhaus-tétel. Nyílt leképezés tétele. Duális terek, reflexív terek. Teljesen folytonos operátorok. Spektrum. Hilbert-terek. Riesz reprezentációs tétele. Fourier-sor­­fejtés Hilb­ert-téren. Parseval-egyenlő­tlenség. Bessel­­egyenlőtlenség. Differenciálegyenletek. Közönséges differenciálegyen­letek. Egzisztencia és unicitás tételek. Elsőrendű közön­séges differenciálegyenletek. Paraméteres differenciál­egyenletek. A kezdeti értéktől való függés. Karakterisz­tikus függvény. Lineáris differenciálegyenletek elmélete. Differenciálegyenletek stabilitása. Banach-féle fixpont tétel és alkalmazásai. Alkalmazott matematika Valószínűségi változók és vektorváltozók eloszlása, eloszlásfüggvénye. Abszolút folytonos eloszlás, sűrűség­­függvény. Függetlenség: események, valószínűségi változók. Függetlenség véges dimenzióban az együttes eloszlás­­függvény, illetve sűrűségfüggvény segítségével. A Kol­­mogorov-féle 0 vagy 1 törvény és következményei. Várható érték eg­y- és többdimenzióban, tulajdonságai. Szórás, kovarianciamátrix. Medián. 1 valószínűségű, sztochasztikus és Lp-konvergencia, kapcsolatuk. Nagy számok gyenge és erős törvényei. A mértékek gyenge konvergenciája. Cramer-Szluckij­­lemma. Karakterisztikus függvény és alapvető tulajdonságai. Inverziós formulák. Eloszlásbeli konvergencia, folyto­nossági tétel. A centrális határeloszlás-tétel. Lindeberg-Feller-tétel. Ljapunov tétele. A feltételes várható érték és feltételes valószínűség általános fogalma. Legegyszerűbb tulajdonságok, kon­vergencia-tételek. Jensen-egyenlőtlenség. Független valószínűségi változók összegének konver­genciája. Tapasztalati eloszlás, tapasztalati eloszlásfüggvény, ta­pasztalati becslések, Glivenko-Cantelli-tétel. Elégségesség, Neyman faktorizációs tétele. Fisher-féle információ, függetlenek együttes informá­ciója, statisztika információja, információ és átparaméte­­rezés. Pontbecslések: torzítatlanság, hatásosság, megenged­­hetőség, minimaxitás. Rao-Blackwell-tétel. Teljesség. Cramer-Rao egyenlőtlenség. Becslési módszerek: momentum-módszer, maximum like­­lihood becslés. A ML-becslés aszimptotikus tulajdonságai. Bayes-becslések, megengedhetőség, minimax tulaj­donság, torzítatlanság. Hipotézisvizsgálati alapfogalmak. A Neyman-Pear­­son-lemma. Az erő aszimptotikája. A normális eloszlása paramétereire vonatkozó klasz­­szikus próbák: u-, t- és F-próba, Fisher-Bartlett-tétel. Khi-négyzet próbák diszkrét illeszkedés-, homogeni­tás- és függetlenségvizsgálatra. Becsléses illeszkedés­­vizsgálat, Fisher tétele. Nem paraméteres próbák: illesz­kedés- és homogenitás vizsgálat folytonos esetben. Többdimenziós normális eloszlás. A paraméterek becslése és azok tulajdonságai. Regresszió, lineáris regresszió, korlátos rangú reg­resszió. Lineáris modell, becslés és hipotézisvizsgálat lineáris modellben. Szórásanalízis. Véges állapotú Markov folyamatok. Az állapotok osz­tályozása. Visszatérőség. Pozitív állapotok. Ergod téte­lek. Poisson folyamat. Elágazó folyamatok. A kihalás valószínűsége. Felújítási folyamatok. Elemi felújítási tétel. Invariancia elv, Wiener folyamat. Véges automaták, kontextus-mentes nyelvek. Ritkamátrix-technológiák (tárolás, feltöltődés, rende­zések). Nevezetes mátrix transzformációk (lineáris rend­szerek, illetve sajátérték feladatok megoldására). Gauss-elimináció és változatai (algoritmusai, művelet­­igénye, főelemválasztás, inkomplett Gauss-elimináció). Mátrixok felbontásai (Schur, LU, LDU, Cholesky, QR). Lineáris és nemlineáris rendszerek iteratív megoldása (Gauss-Seidel, konjugált gradiens, Newton-módszer, lo­kális és globális konvergencia, Broyden-módszer). Sajátérték feladatok (hatványmódszer, inverz iteráció, eltolás, QR). Interpolációs és approximációs feladatok (Lagrange, Hermite, spline; Csebisev-approximáció). Integrálok kiszámítása (Pólya-Sztyeklov-tétel, inter­polációs és Gauss-típusú képletek).

Next