Természet Világa, 1986 (117. évfolyam, 1-12. szám)
1986-05-01 / 5. szám
tADEB + tACHJ + t'BFGC + (tOCHP + + tMNGC) Ha azonban tudomásul vesszük, hogy COS7 =—COS7’, akkor a tétel trigonometrikus formája, azaz a cosinus-tétel alakban is változatlan. Derékszögű háromszög esetén természetesen a Pitagorasz-tételt kapjuk. A cosinus-tételnek ezt a történelmi levegőjű igazolását annyira szemléletesnek és szépnek tartom, hogy szívesen látnám a középiskolai tananyagban. Kis kitérésként hadd jegyezzem meg, hogy a matematikatörténetben számos olyan anyagrésszel találkoztam, amelynek eredeti tárgyalásmódja szebb és könnyebb, mint az, ahogyan ma ezeket tanítani szokás. E tárgyalásmódok kicserélése még avval az óriási előnnyel is járna, hogy a középiskolai matematikatanítás mindinkább történelmi keretben folyhatna. Ez pedig azért volna felbecsülhetetlen előny, mert mihelyt egy matematikai tétel nem elszigetelt, látszólag öncélú ismeretként, hanem eseményként, kultúrtörténeti eseményként jelenik meg a tanulók előtt, abban a pillanatban nem erőszakolt módon kapcsolatba hozható más kulturális eredményekkel, tehát ezáltal tudatosítható, hogy a matematika eredményei kultúrértékek, az emberi kultúra lényeges részei, amelyek bizonyos szintű ismerete hozzátartozik az általános műveltséghez. A matematika és hadd általánosítsak, a természettudományok iránti közömbösség nem ok a dicsekvésre, amint az manapság pl. a rádióban és a tv-ben divat, hanem félműveltség, amiért inkább szégyenkezni illenék. Mentségül szolgál, hogy középiskolai tanáraink is csak elvétve látják a matematikaoktatásnak más célját, mint a logikus gondolkodásra nevelést. Pedig a matematika nem csupán észcsiszoló köszörűkő, hanem megismerésre méltó kultúrterület, aminek a megláttatása a középiskolában szinte csak a matematika történetén keresztül lehetséges. A tanárokat viszont az menti, hogy az egyetemi képzésből is hiányzik a matematikatörténet, és erre már nem találok mentséget. Visszatérve Eukleidész tételére, azt mondhatná valaki, hogy számos ősi geometriai feladat és állítás átírható trigonometrikus formába, de ez nem jelenti feltétlenül a trigonometria létét a feladat megszületésekor. E vádat nehéz volna kivédenünk, való igaz, hogy a mai szögfüggvényfogalmat vetítettük vissza Eukleidész területi tételére, de egyrészt nincs olyan történetíró, aki a múlthoz ne adna valamit a mából, másrészt ez a „hamisítás" megbocsátható, mert hasznos, hiszen a tétel ezáltal gazdagodott. Nem hiszem, hogy a figyelmes olvasó ezután úgy tudná felidézni az e területekkel megfogalmazott tételt, hogy ne látná bele a cosinus-tételt, sőt ezen túlmenően új és szép módszert nyertünk a cosinus-tétel igazolására. Keressünk azonban a görög ókorban valódi trigonometriai feladatot, amelyben, ha nem is mai alakokban, de szögfüggvények játsszák a főszerepet. Ehhez nem a matematikusokhoz, hanem a csillagászokhoz kell fordulni. Ők voltak az elsők, akik következetesen foglalkoztak azzal a kérdéssel, hogy mi az összefüggés egy adott körben a középponti szög és a hozzá tartozó húr között? Ez már igazán trigonometriai feladat, hiszen voltaképpen azt kérdezi, hogy miképpen függ a szögtől annak a sinusa? Éppen ezért vesszük magunknak azt a bátorságot, hogy az ősi gondolatokat mai jelölésekkel kísérjük. Az első görög csillagász, akihez nem hiába folyamodunk, a szamoszi Arisztarkhosz az i. e. 4—3. században. Sztratóné híres tanítványa egész életét az ókor leghatalmasabb tudományos központjában, Alexandriában töltötte. Méltán hívjuk ma az ókor Kopernikuszának, mert az ő világképében is a Föld a többi bolygóval együtt az álló Nap körül kering. Arisztarkhosz egyetlen ránk maradt kis tanulmányában kiszámította a Föld—Nap és a Föld—Hold távolságok arányát. Tette ezt egy ma is helyesnek ismert megfigyelés szerint. Ha ugyanis Földünk F pontjából a Holdnak éppen a felét látjuk, mert a másik fele árnyékban van, akkor a Nap, a Föld és a Hold a 3. ábra FFM derékszögű háromszögét alkotja. Arisztarkhosz megmérte (igen pontatlanul) e háromszög HFN szögét, és ezt 87°-nak találta. Erre alapozva állította, hogy a Föld—Nap-távolság (n) nagyobb a Hold—Föld-távolság (h) 18-szorosánál, de kisebb e távolság 20-szorosánál, azaz hogy Állításának igazolásánál bizonyítás nélkül hivatkozott arra, hogy a hegyesszögek birodalmában ^Mi- ‡ ‡ ^4t, ha 9°° ›a‡^ο0°. tg p p sin p ^ E kiindulást nem indokolta, bizonyára azért, mert valamelyik másik művében már bizonyította, vagy pedig, mert már az ő idejében a csillagászok előtt közismert volt. E segédtételt mi is beláthatjuk középiskolás tanulmányaink alapján, például a 4. ábra segítségével. Itt, az egységsugarú körben az a ‰ B hegyesszögekre vonatkozólag ismeretes, hogy: sin a = ED, tg a = AB, sin B = FG, tg ß = AC, sin (a—B) = KD és tg (a—B) = = GL. A kör középponti szögének mérőszáma pedig megegyezik a hozzá tartozó körív mérőszámával, ha radiánokban mérjük a szöget. Ilyen jelölések mellett rajzunkról leolvashatók a következő egyenlőtlenségek: CB ‹ GL ‹ GD ‹ KD · HD, illetve: tg a — tg ß ‹ tg (a—ß) › a—ß ‹ › sin (a—ß) · sin a — sin ß. Ebből tartsuk meg az az állítást, hogy: tg a — tg ß › a — ß › sin a* sin ß, ha 90° › a ‹ ß ‹ 0°. Ha most a ^“ = a egyenlőségben a nevezőkben szereplő a—t ß-ra változig a , a tatom, akkor mert bár mindkét oldalon csökkentettem a nevezőt, de a tg a — tg ß nagyobb lévén az (a—ß)-nál, a bal oldal nevezője nagyobb mértékben kisebbedlen, mint a jobb oldalé. Ha pedig a sin exta egyenlőségben sina a írunk a nevezők a-ja helyett ß-t, akkor jthiszen a bal oldal nevezőjének 2. ábra. 4. ábra