Természet Világa, 1986 (117. évfolyam, 1-12. szám)

1986-05-01 / 5. szám

tADEB + tACHJ + t'BFGC + (tOCHP + + tMNGC) Ha azonban tudomásul vesszük, hogy COS7 =—COS7’, akkor a tétel trigono­metrikus formája, azaz a cosinus-tétel alakban is változatlan. Derékszögű háromszög esetén termé­szetesen a Pitagorasz-tételt kapjuk. A cosinus-tételnek ezt a történelmi levegőjű igazolását annyira szemléletes­nek és szépnek tartom, hogy szívesen látnám a középiskolai tananyagban. Kis kitérésként hadd jegyezzem meg, hogy a matematikatörténetben számos olyan anyagrésszel találkoztam, amelynek ere­deti tárgyalásmódja szebb és könnyebb, mint az, ahogyan ma ezeket tanítani szo­kás. E tárgyalásmódok kicserélése még avval az óriási előnnyel is járna, hogy a középiskolai matematikatanítás mindin­kább történelmi keretben folyhatna. Ez pedig azért volna felbecsülhetetlen előny, mert mihelyt egy matematikai tétel nem elszigetelt, látszólag öncélú is­meretként, hanem eseményként, kultúr­történeti eseményként jelenik meg a ta­nulók előtt, abban a pillanatban nem erőszakolt módon kapcsolatba hozható más kulturális eredményekkel, tehát ez­által tudatosítható, hogy a matematika eredményei kultúrértékek, az emberi kultúra lényeges részei, amelyek bizo­nyos szintű ismerete hozzátartozik az általános műveltséghez. A matematika és hadd általánosítsak, a természettudo­mányok iránti közömbösség nem ok a dicsekvésre, amint az manapság pl. a rá­dióban és a tv-ben divat, hanem fél­műveltség, amiért inkább szégyenkezni illenék. Mentségül szolgál, hogy közép­iskolai tanáraink is csak elvétve látják a matematikaoktatásnak más célját, mint a logikus gondolkodásra nevelést. Pedig a matematika nem csupán észcsiszoló köszörűkő, hanem megismerésre méltó kultúrterület, aminek a megláttatása a középiskolában szinte csak a matematika történetén keresztül lehetséges. A taná­rokat viszont az menti, hogy az egye­temi képzésből is hiányzik a matematika­­történet, és erre már nem találok ment­séget. Visszatérve Eukleidész tételére, azt mondhatná valaki, hogy számos ősi geo­metriai feladat és állítás átírható trigono­metrikus formába, de ez nem jelenti feltétlenül a trigonometria létét a feladat megszületésekor. E vádat nehéz volna kivédenünk, való igaz, hogy a mai szög­­függvényfogalmat vetítettük vissza Euk­leidész területi tételére, de egyrészt nincs olyan történetíró, aki a múlthoz ne adna valamit a mából, másrészt ez a „hamisítás" megbocsátható, mert hasz­nos, hiszen a tétel ezáltal gazdagodott. Nem hiszem, hogy a figyelmes olvasó ezután úgy tudná felidézni az e terü­letekkel megfogalmazott tételt, hogy ne látná bele a cosinus-tételt, sőt ezen túl­menően­ új és szép módszert nyertünk a cosinus-tétel igazolására. Keressünk azonban a görög ókorban valódi trigonometriai feladatot, amely­ben, ha nem is mai alakokban, de szög­függvények játsszák a főszerepet. Ehhez nem a matematikusokhoz, hanem a csil­lagászokhoz kell fordulni. Ők voltak az elsők, akik következetesen foglalkoztak azzal a kérdéssel, hogy mi az össze­függés egy adott körben a középponti szög és a hozzá tartozó húr között? Ez már igazán trigonometriai feladat, hi­szen voltaképpen azt kérdezi, hogy mi­képpen függ a szögtől annak a sinusa? Éppen ezért vesszük magunknak azt a bátorságot, hogy az ősi gondolatokat mai jelölésekkel kísérjük. Az első görög csillagász, akihez nem hiába folyamo­dunk, a szamoszi Arisztarkhosz az i. e. 4—3. században. Sztratón­é híres tanít­ványa egész életét az ókor leghatalma­sabb tudományos központjában, Ale­xandriában töltötte. Méltán hívjuk ma az ókor Kopernikuszának, mert az ő vi­lágképében is a Föld a többi bolygóval együtt az álló Nap körül kering. Arisz­tarkhosz egyetlen ránk maradt kis tanul­mányában kiszámította a Föld—Nap és a Föld—Hold távolságok arányát. Tette ezt egy ma is helyesnek ismert megfigye­lés szerint. Ha ugyanis Földünk F pont­jából a Holdnak éppen a felét látjuk, mert a másik fele árnyékban van, akkor a Nap, a Föld és a Hold a 3. ábra FFM­ derékszögű háromszögét alkotja. Arisz­tarkhosz megmérte (igen pontatlanul) e háromszög HFN szögét, és ezt 87°-nak találta. Erre alapozva állította, hogy a Föld—Nap-távolság (n) nagyobb a Hold—Föld-távolság (h) 18-szorosánál, de kisebb e távolság 20-szorosánál, azaz hogy Állításának igazolásánál bizonyítás nélkül hivatkozott arra, hogy a hegyesszögek birodalmában ^Mi- ‡ ‡ ^4t­, ha 9°° ›a‡^ο0°. tg p p sin p ^ E kiindulást nem indokolta, bizonyára azért, mert valamelyik másik művében már bizonyította, vagy pedig, mert már az ő idejében a csillagászok előtt közis­mert volt. E segédtételt mi is beláthatjuk közép­­iskolás tanulmányaink alapján, például a 4. ábra segítségével. Itt, az egységsu­garú körben az a ‰ B hegyesszögekre vonatkozólag ismeretes, hogy: sin a = ED, tg a = AB, sin B = FG, tg ß = AC, sin (a—B) = KD és tg (a—B) = = GL. A kör középponti szögének mérőszáma pedig megegyezik a hozzá tartozó körív mérőszámával, ha radiánokban mérjük a szöget. Ilyen jelölések mellett rajzunkról leolvashatók­ a következő egyenlőtlensé­­gek: CB ‹ GL ‹ GD ‹ KD · HD, illetve: tg a — tg ß ‹ tg (a—ß) › a—ß ‹ › sin (a—ß) · sin a — sin ß. Ebből tartsuk meg az az állítást, hogy: tg a — tg ß › a — ß › sin a­­* sin ß, ha 90° › a ‹ ß ‹ 0°. Ha most a ^“­ = a egyenlőségben a nevezőkben szereplő a—t ß-ra változ­ig a , a tatom, akkor mert bár mindkét oldalon csökkentettem a nevezőt, de a tg a — tg ß nagyobb lévén az (a—ß)-nál, a bal oldal nevezője nagyobb mérték­ben kisebbedlen, mint a jobb oldalé. Ha pedig a sin ex­ta egyenlőségben sina a írunk a nevezők a-ja helyett ß-t, akkor­­ jthiszen a bal oldal nevezőjének 2. ábra. 4. ábra

Next