Katolikus gimnázium, Újvidék, 1881
5 Ha (VI. ábra.) valamely kúpszeletre nézve — X —Y— Z — három pont oly tulajdonsággal bír, hogy — X- nek mint pólusnak — x — felel meg mint poláris, hasonlóan — Y- nak — y — Z- nek — z —■, úgy — XYZ — háromszög önönmagának conjugált háromszögnek neveztetik. Ilyen háromszög a kúpszeletbe irt teljes négyszög három átlós pontjának összekötése által keletkezett háromszög. Minden ponthoz egy bizonyos kúpszeletre nézve tartozik egy poláris és viszont minden egyeneshez tartozik egy pont mint pólus. Ha egy kúpszelet síkjában (VII. ábra) egy — ABC — háromszöget veszünk fel, és megszerkesztjük a szögpontokhoz a polárisokat, ezek egy — a, b, c, — háromszöget határoznak meg, mely az — ABC — háromszög poláris háromszöge, és viszont — abc — háromszöge — ABC —, mert pl. — B - hez a — b — egyenesnek minden pontja conjugált, tehát (be), t. i. — b — és —■ c — vonalak metszési pontja is, továbbá — C- vel a —c— minden pontja conjugált tehát (b,c) is, tehát: — BC — egyenesnek mint polárisnak pólusa (be) pont. — AC — „ „ (ac) „ ~ AB „ „ „ n (ab) ,, És így egy kúpszelet segítségével egy háromszöghez oly háromszöget szerkeszthetünk, melynek oldalai az eredeti háromszög csúcspontjainak polárisai és fordítva. Ily idomok poláris idomok. Egy négyszög poláris idoma egy négy oldal stb. Ezen elv (viszonyos polárisok elve) segítségével valamely tételből annak megfordítása könnyen bebizonyítható. A VIII. ábrában alkalmaztam ezen elveket a Desargues tételére. A tétel ismeretesen úgy hangzik: ha két háromszög —ABC— és —A'B'C'— oly helyzetben van, hogy a megfelelő szögpontokat összekötő egyenesek (A és A', BB', CC') egy — S— ponton metszik egymást (t. i. perspektív helyzetben vannak) akkor —BC— és B'C'— vonalak metszési pontja röviden jelölve (BC, B'C’) pont, továbbá (AC, A'C‘) és (AB, A'B') pontok egy —e— egyenesben vannak. A mondott elv segélyével bebizonyítom, hogy, ha a Desargues tétel folyománya áll, abból következik a perspektív helyzet. JelölömABC-- háromszög poláris háromszögének oldalait -abc-vel -A'B'C'-- „ „ „ -a‘b'c'-tel akkor —AA'— vonal pólusa —a— és —a'— vonalak metszési pontja röviden (a, a') pont, — BB'-nek (bb‘) és —CC'-nek