Középiskolai Matematikai Lapok 66. (1983, 1-5. szám)

1983-01-01 / 1. szám

! Ekkor viszont ad — be 5*1. Ellentmondásra jutottunk a föltevésünkkel, és ezzel igazoltuk az állítást. Megjegyzések: 1. Az előzőhöz hasonlóan igazolható, hogy az ad—be — k, a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd —­­ egyenlőségek egyidejűleg akkor és csak akkor teljesülnek, ha a — b = c = d=k = 0. 2. A komplex számok körében a feladat állítása már nem igaz. Ha pl. a = b = l, if3-1 7_i/3 + l ---------, d —----— akkor az (1) és (2) egyenlőségek teljesülnek. Ladányi László (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.) Érkezett 235 dolgozat. Helyes 164, hiányos (1 pont) 30, hibás 31, nem versenyszerű 10 dolgozat. ^ Gy. 2056. Egy csiga állandó sebességgel mászik egy síklapon. Mozgásának irányát negyedóránként változtatja meg, ilyenkor 90°-kal balra vagy jobbra fordul. Bizonyítsuk be, hogy a csiga csak egész számú óra elteltével érhet vissza oda, ahon­nan elindult. (3 pont) Megoldás: Hívjuk a csiga két irányváltoztatás között megtett útját „lépés”-nek, így azt kell megmutatnunk, hogy amennyiben a csiga visszaért kiindulási pontjába, akkor lépéseinek száma osztható 4-gyel. Világos, hogy a csiga visszatéréséig ugyanannyiszor lépett balra, mint jobbra, összesen tehát páros sokat lépett vízszintesen. Ugyanez igaz a függő­leges irányú lépéseire is. Ha a csiga kezdő lépésének irányával párhuzamosan érkezett volna vissza, akkor a lépésenkénti irányváltoztatás miatt eggyel kevesebbszer lépett volna erre az irányra merőlegesen, mint vele párhuzamosan, így vagy a vízszintes, vagy pedig a függőleges lépéseinek a száma páratlan volna. Láttuk viszont, hogy e két szám páros, csigánk tehát csak az indulási irányra merőlegesen fejezhette be útját. Ebből következik, hogy ugyanannyit lépett víszintesen, mint függőlegesen. Lépéseinek a száma tehát egy páros szám kétszerese, így valóban osztható 4-gyel. Érkezett 155 dolgozat, 2 megoldást küldött (4 pont) Csillag P. Helyes 59, hiányos (1­0­2 pont) 67, hibás 21, nem versenyszerű 7 dolgozat. Gy.­ 2062. Legfeljebb hány olyan hónap lehet egy évben, amelyben öt vasárnap van? (2 pont) Megoldás: Egy hónap napjainak száma 28 és 31 között változik, vagyis minden hónapban legalább 4 vasárnap van, 5-nél több viszont egyetlen hónap­ban sincsen. Egy év 365 — 52 • 7 + 1 napból áll, vagy pedig — szökőév esetén — 366 - 52­7 + 2 napból, így egy évben 52 vagy 53 vasárnap van. A tizenkét hónap mindegyike tartalmaz tehát legalább 4 vasárnapot. Az így adódó 48-on túl fennmaradó 4, illetve 5 vasárnap feltétlenül különböző hónapokra esik, mert 6 vasárnap nem lehet egy hónapban. Ez azt jelenti, hogy legfeljebb öt olyan hónap lehet egy évben, amelyben öt vasárnap van. Ez éppen azokban az években fordul elő, amelyekben 53­ 15

Next