ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 5. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1979)

1979 / 1-2. sz. - Hatvani László: Nem-autonóm differenciálegyenlet-rendszerek megoldásainak stabilitása és parciális stabilitása

NEM-AUTONÓM DIFFERENCIÁLEGYENLETRENDSZEREK 5 c) y-attraktívnak nevezzük, ha bármely r0£jR+-hoz létezik olyan ›х(г0)‡0, hogyha |x0|›(T, akkor |y{t\ 1 0,x0)|— 0, ha |-‹-°°; d) aszimptotikusan y-stabilisnak nevezzük, ha y-stabilis és y-attraktív ; e) egyenletesen aszimptotikusan y-stabilisnak nevezzük, ha egyenletesen y-sta­bilis, és van olyan ›r·0, hogy bármely 0-hoz létezik olyan T(yj), hogy ha |x0|››T, akkor |y(t;10,x0)| ~17 a \tnA-T(t]), intervallumon. Megállapodunk abban, hogy ha a 0-megoldást egyszerűen stabilisnak, attrak­tívnak stb. mondjuk, akkor az x-stabilitást, x-attraktivitást stb. jelent, amelyek egybeesnek a LJAPUNOV által [42]-ben bevezetett stabilitási fogalmakkal. A dolgozatban központi szerepet játszanak a V­­R+XT-*R differenciálható függvények, amelyeket Ljapunov-függvényeknek fogunk nevezni. A V Ljapunov-­­ függvényeknek a (2.2) rendszerre vonatkozó deriváltján a függvényt értjük. (Ha több rendszer is szerepel a tárgyalásban, akkor megkülön­böztetésül a rendszer azonosítóját is kiírjuk a derivált jelölésében: K(2 2)(t, x)). Ezt a jelölést az alábbi tény indokolja: 2.1. LEMMA. Legyen V Ljapunov-függvény, és x(t) (2.2)-nek tetszőleges megoldása. Ekkor -is V(t, x(/)) — V(t, x(t)) az x(t) megoldás teljes létezési intervallumán. Bizonyítás. A láncszabály szerint hiszen x(t)·X(t, x(t)). A parciális stabilitás tanulmányozásához a (2.2) rendszert néha hasznos az alakban írni, ahol Y: R+XT^R", Z: R+xr^R". 3. A Ljapunov-féle direkt módszer alaptételei Mint ahogyan a bevezetésben már említettük, a stabilitáselmélet leghatékonyabb módszerének, az úgynevezett direkt módszernek az alapjait A. M. LJAPUNOV orosz tudós fektette le 1892-ben megjelent híres doktori disszertációjában. Ezek a tételek ma is a stabilitási vizsgálatok alapvető és általánosan használt eszközei. Méltán szokás a direkt módszer alaptételei közé sorolni még N. G. CSETAJEV instabilitási tételét, amelyet konzervatív mechanikai rendszerek stabilitására vonatkozó, az 1930—40-es években folytatott vizsgálatai eredményeként kapott [53]. A módszer * * - i . (i^i). ) — Y(t, y, z), z — Z(t,y,z) 2* Alkalmazott Matematikai Lapok 5 (1979)

Next