ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 15. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1990-1991)
1990-91 / 1-2. sz. - Hatvani László: Közönséges differenciálegyenletek megoldásainak stabilitásáról mechanikai alkalmazásokkal
Alkalmazott Matematikai Lapok 15 (1990-91) 1-90 KÖZÖNSÉGES DIFFERENCIÁLEGYENLETEK MEGOLDÁSAINAK STABILITÁSÁRÓL MECHANIKAI ALKALMAZÁSOKKAL HATVANI LÁSZLÓ Szeged A dolgozat témája LJAPUNOV direkt módszerének nem autonóm rendszerekre, illetve a változók egy részére vonatkozó (parciális) stabilitásvizsgálatokra való továbbfejlesztése, tökéletesítése és klasszikus mechanikai feladatokra történő alkalmazása. A 2. fejezetben olyan tételeket adunk, amelyek negatív szemideánit (de nem negatív definit) deriválttal rendelkező Ljapunovfüggvények segítségével lokalizálják a megoldások pozitív határhalmazait. A 3. fejezetben ezeket az eredményeket egyensúlyi helyzet aszimptotikus stabilitását biztosító feltételek levezetésére használjuk. A 4. fejezetben a parciális határhalmazok lokalizálásának problémáját oldjuk meg. Az 5. fejezetben olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek jobboldala valamilyen értelemben konvergens, ha a nem ellenőrzött koordináták, illetve az idő végtelenbe tart. Az így keletkező „határegyenlet" tulajdonságaiból következtetünk az eredeti egyenlet megoldásainak megfelelő tulajdonságaira. A 6. fejezetben olyan Ljapunov-függvények elméletét dolgozzuk ki, amelyek két függvény összegeként állnak elő úgy, hogy az összegnek a rendszer szerinti deriváltja az egyik tag felhasználásával becsülhető. Tartalomjegyzék Bevezetés 2 1. fejezet: Alapfogalmak, előzmények 7 2. fejezet: Az invarianciaelv egy általánosítása nem autonóm rendszerekre. Lokalizációs tételek 12 2.1. Lokalizáció Ljapunov-függvény szinthalmazával 13 2.2. Lokalizáció Ljapunov-függvény deriváltjának 0-halmazával 14 2.3. Néhány következmény, példa 20 2.4. A 2.2.3. lemma egy általánosítása 24 2.5. Lokalizáció a gyűrűmódszerrel 30 2.6. Alkalmazások, példák 33 2.7. Kiegészítő megjegyzések 38 3. fejezet: Aszimptotikus stabilitást és instabilitást biztosító feltételek több Ljapunov-függvénnyel 38 3.1. Alaptételek 39 3.2. Finomítások, általánosítások 43 3.3. Másodrendű nem-lineáris differenciálegyenletek megoldásainak és disszipatív mechanikai rendszerek egyensúlyi helyzetének aszimptotikus stabilitása 48 3.4. Kiegészítő megjegyzések 55 4. fejezet: Parciális stabilitási tulajdonságok autonóm rendszerekre 55 4.1. Parciális határhalmazok. Egy alternatíva a megoldások viselkedésére 57 4.2. Tételek az aszimptotikus stabilitásról és instabilitásról 59 4.3. Alkalmazások mechanikai rendszerekre 62 4.4. Kiegészítő megjegyzések 66 Alkalmazott Matematikai Lapok 15 (1990-91)