ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 16. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1992)

1992 / 1-2. sz. - DOMOKOS GÁBOR: Síkbeli, konzervatív tenzormezők forgásszimmetriáinak vizsgálata elemi módszerekkel

SLKBELI, KONZERVATÍV TENZORMEZŐK FORGÁSSZIMMETRIÁZN­AK 3 A koordináták egy m-dimenziós egységkocka csúcsaiban helyezkednek el, tehát min­den koordináta egy m hosszúságú bináris (0,1 elemekből álló) sorozattal azonosítha­tó. A parciális deriválás sorrendje felcserélhető, ezért minden olyan csúcspontban, amely 1 darab 0-ból és m­á­s darab l-esből álló sorozattal azonosítható, a dzkdj­nak derivált áll. Tenzormezők koordináta-invariáns tárgyalásával és mechanikai in­terpretációjával DOMOKOS (1989) foglalkozik behatóbban. A továbbiakban csak konzervatív tenzormezőkkel foglalkozunk, ezért általában a „konzervatív" jelzőt elhagyjuk. Speciálisan m­­ 0 esetén nulladrendű konzervatív tenzormezőhöz jutunk, mely magával a z — F(z, y) skalármezővel azonos. 2.1 S­kal­árok 2.2 Definíció: Egy transzformációkból álló halmazt akkor nevezünk csoport­nak, ha tartalmazza bármely két hozzá tartozó transzformáció szorzatát, bármely hozzá tartozó transzformáció inverzét és az identitás-transzformációt. A halmaz­ban található különböző transzformációk száma a csoport rendje. (BIRKHOFF és MACLANE, 1965) 2.3 Definíció. Az origó körüli u*­­ Ti” szögekkel történő , y síkbeli forga­tásokból álló CO transzformáció-csoportot n-edrendű ciklikus csoportnak nevezzük (COXETER, 1969). Az origó körüli tetszőleges forgatások csoportját CO-lal jelöljük. A fenti definícióval kapcsolatban megjegyezzük, hogy az origó körüli tetszőleges forgatások csoportja alapvetően eltér a definíció első részében tárgyalt véges cso­portoktól, melyeknél a természetes számokat használtuk indexként. A tetszőleges forgatások csoportjának indexelésére tehát egy olyan szimbólumot kellett alkalmaz­nunk, amely nem természetes szám. Kézenfekvőnek tűnhetne a po index, hiszen ez a csoport végtelen sok transzformációt tartalmaz. Ez az index azonban egyrészt félrevezető, hiszen a végtelen nem szám, hanem számosság, viszont a csoport ele­meinek számossága nem azonos a természetes számok számosságával, hiszen a cso­port folytonos. Másrészt a későbbiekben látni fogjuk, hogy a po index használata formális szempontból nehézkessé tenné ezen csoport együttes kezelését a véges cso­portokkal. A 0 index ezzel szemben nem félrevezető, hiszen nyilvánvalóan nem a transzformációk számára ill. számosságára utal, formális szempontból pedig lehető­vé fogja tenni a véges és a folytonos csoport együttes leírását. 2.4 Definíció: Az SI halmazt egy csoportra nézve invariánsnak nevezzük, ha a csoport bármely transzformációjára nézve invariáns. Az Sí halmazt akkor nevezzük egy transzformációra nézve invariánsnak, ha a transzformált halmazt az eredetitől nem lehet megkülönböztetni. Ha létezik olyan a legnagyobb, véges természetes szám, melyre igaz, hogy Sí invariáns CD-re nézve, akkor ezt a C(Sí) - n módon Alkalmazott Matematikai Lapok 16 (1992)

Next