ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 19. KÖTET (A MTA Matematikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1999)

1999 / 1. sz. - KARÁTSON JÁNOS: Gradiens-módszer Szoboljev-térben: Lineáris peremértékfeladatok közelítő megoldása polinomokkal

Alkalmazott Matematikai Lapok 19 (1999) 1-28 GRADIENS-MÓDSZER SZOBOLJEV-TÉRBEN: LINEÁRIS PEREMÉRTÉKFELADATOK KÖZELÍTŐ MEGOLDÁSA POLINOMOKKAL KARÁTSON JÁNOS Budapest A cikk tárgya a gradiens-módszer Hilbert-térbeli általánosításának alkalmazása 2 n­edrendű lineáris elliptikus peremértékfeladatokra. Ebben a megközelítésben a gradiens­módszer a megfelelő­ Szoboljev-térben alkalmazható az általánosított differenciáloperá­torra. A megvalósítás alapelve Czách László módszerén alapul: ha a tartomány gömbre transzformálható, polinomokból álló közelítő­ sorozatot készíthetünk. Megmutatjuk, hogy ez a gondolat a numerikus megvalósítás során is kedvező tulajdonságokhoz vezet. A számítógépes megvalósítás kérdései között részletesebben foglalkozunk a kétdimen­ziós esettel. A közelítő sorozat konstrukciójának köszönhetően az iteráció lépéseiben egyszerű szerkezetű lineáris algebrai egyenletrendszereket kell megoldanunk, s végered­ményben könnyen megvalósítható, lineáris konvergenciát nyújtó módszerhez jutunk. 1. Bevezetés A gradiens-módszer, amely különböző­ variációival együtt lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásának egyik leghatékonyabb iterációs módszere, elter­jedtségét annak köszönheti, hogy diszkretizáció révén jól alkalmazható elliptikus peremértékfeladatok közelítő­ megoldására. Ezzel szemben az alkalmazások nem­igen támaszkodnak a gradiens-módszer végtelen dimenziós általánosításaira, bár Kantorovics munkái óta e téren is számos eredmény született (lásd pl. [4], [8], [13]). A Hilbert-térbeli gradiens-módszert elsőként Czách L. alkalmazta lineáris peremér­tékfeladatra (in [8]); a gradiens-módszer variációi körében a konjugált gradiens­módszer peremértékfeladatokra is használható kidolgozása Daniel nevéhez fűződik (1)­E cikk célja előbb Czách L. módszerének kiterjesztése tetszőleges 20-edrendű lineáris Dirichlet-feladatra (beleértve a lépéskör technikai szempontból legegysze­rűbb választását), majd a numerikus megvalósításhoz szükséges részletek kidolgo­zása. A kapott módszer, amely gömbön, ill. könnyen gömbre transzformálható tartományokon működik, egyszerűen realizálható és lineáris konvergenciát nyújt. A 2. szakaszban a Szoboljev-térbeli gradiens-módszer itt szükséges eredmé­nyeit foglaljuk össze. Az alkalmazás szempontjából a 3. és 5. szakasz a középpont.

Next