ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 19. KÖTET (A MTA Matematikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1999)
1999 / 1. sz. - KARÁTSON JÁNOS: Gradiens-módszer Szoboljev-térben: Lineáris peremértékfeladatok közelítő megoldása polinomokkal
Alkalmazott Matematikai Lapok 19 (1999) 1-28 GRADIENS-MÓDSZER SZOBOLJEV-TÉRBEN: LINEÁRIS PEREMÉRTÉKFELADATOK KÖZELÍTŐ MEGOLDÁSA POLINOMOKKAL KARÁTSON JÁNOS Budapest A cikk tárgya a gradiens-módszer Hilbert-térbeli általánosításának alkalmazása 2 nedrendű lineáris elliptikus peremértékfeladatokra. Ebben a megközelítésben a gradiensmódszer a megfelelő Szoboljev-térben alkalmazható az általánosított differenciáloperátorra. A megvalósítás alapelve Czách László módszerén alapul: ha a tartomány gömbre transzformálható, polinomokból álló közelítő sorozatot készíthetünk. Megmutatjuk, hogy ez a gondolat a numerikus megvalósítás során is kedvező tulajdonságokhoz vezet. A számítógépes megvalósítás kérdései között részletesebben foglalkozunk a kétdimenziós esettel. A közelítő sorozat konstrukciójának köszönhetően az iteráció lépéseiben egyszerű szerkezetű lineáris algebrai egyenletrendszereket kell megoldanunk, s végeredményben könnyen megvalósítható, lineáris konvergenciát nyújtó módszerhez jutunk. 1. Bevezetés A gradiens-módszer, amely különböző variációival együtt lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásának egyik leghatékonyabb iterációs módszere, elterjedtségét annak köszönheti, hogy diszkretizáció révén jól alkalmazható elliptikus peremértékfeladatok közelítő megoldására. Ezzel szemben az alkalmazások nemigen támaszkodnak a gradiens-módszer végtelen dimenziós általánosításaira, bár Kantorovics munkái óta e téren is számos eredmény született (lásd pl. [4], [8], [13]). A Hilbert-térbeli gradiens-módszert elsőként Czách L. alkalmazta lineáris peremértékfeladatra (in [8]); a gradiens-módszer variációi körében a konjugált gradiensmódszer peremértékfeladatokra is használható kidolgozása Daniel nevéhez fűződik (1)E cikk célja előbb Czách L. módszerének kiterjesztése tetszőleges 20-edrendű lineáris Dirichlet-feladatra (beleértve a lépéskör technikai szempontból legegyszerűbb választását), majd a numerikus megvalósításhoz szükséges részletek kidolgozása. A kapott módszer, amely gömbön, ill. könnyen gömbre transzformálható tartományokon működik, egyszerűen realizálható és lineáris konvergenciát nyújt. A 2. szakaszban a Szoboljev-térbeli gradiens-módszer itt szükséges eredményeit foglaljuk össze. Az alkalmazás szempontjából a 3. és 5. szakasz a középpont.