ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 27. KÖTET (A MTA Matematikai Tudományok Osztályának Közleményei, 2010)

2010 / 1. sz. - MIHÁLYKÓNÉ ORBÁN ÉVA - MIHÁLYKÓ CSABA - LAKATOS G. BÉLA: Szintátmetszési probléma és általánosítása a Sparre Andresen-modellben

2 MIHÁLYKÓNÉ ORBÁN ÉVA, MIHÁLYKÓ CSABA, LAKATOS G. BÉLA történik ez a tönkremenés. A kérdést megfogalmazza Grandell könyvében [6], és a tönkremenési probléma megoldását speciális esetben kapcsolatba hozza a klasszikus rizikófolyamat tönkremenési problémájának megoldásával. A hagyományos rizikófolyamat és a pozitív ugrásokkal történő, általunk vizs­gált folyamat tönkremenési egyenleteinek összekapcsolása általánosabb esetben tör­tént Mazza és Rulliere cikkében [7]. A pozitív ugrások esetével foglalkozik, de csak a tönkremenési valószínűség megadását tárgyalja Dong és Wang Erlang(n) eloszlású káresemények közt eltelt idők esetén [2, 3]-ban. A megfogalmazott célok érdekében végzett vizsgálatok során reflektorfénybe kerültek olyan függvények, amelyek elemzése segíti az elsődleges célok elérését, és választ adhatnak a gyakorlati problémákra. Egy ilyen függvénnyel foglalkozunk jelen dolgozatunkban. 2. A vizsgált modell Tekintsük a biztosítási matematikában gyakran használt, Sparre Andersen­modellként ismert modellt, azaz legyen to , 0, valamint legyenek is (г = 1,2,3 ... ) független, nem negatív értékű azonos eloszlású valószínűségi változók. A biztosítási terminológiában is adja meg az i — 1-edik és az г-edik kárkifizetések közt eltelt időt. Jelöljük közös eloszlásfüggvényüket F(t)-vel, sűrűségfüggvényüket F(t)-ve­l, Pf-tel a közös (véges) várható értéküket és éri­ fel a közös (véges) szórásukat. Jelölje N(t) a­z ideig történő káresemények számát. Az г-edik káresemény során az Yi valószínűségi változó adja meg a kifizetendő pénzmennyiséget. Az Y, valószínű­ségi változókról ugyancsak feltételezzük, hogy nem negatív értékűek, egymástól füg­getlenek, és azonos eloszlásúak G(y) eloszlásfüggvénnyel, g(y) sűrűségfüggvénnyel, fi­x véges várható értékkel és x­x véges szórással. Feltételezzük továbbá, hogy az N(t) kárszám- folyamat és Yx egymástól függetlenek. A befizetések folyamatosan érkeznek állandó­­ intenzitással. Jelöljük to-lal a kezdőtőkét. Ahhoz, hogy a pénz­tárban levő pénzmennyiség ne haladja meg a z\ — 70 szintet, az szükséges, hogy azaz a Z\ — ZQ _ d­ — ^ egyenlőtlenség teljesüljön minden nemnegatív­­ értékre, 2-vel jelölve a z\ — z(l nemnegatív különbséget, vizsgáljuk a egyenlőtlenség teljesülését, ami azt jelenti, hogy a pénztárban levő pénzmennyiség növekménye nem haladja meg a­z értéket. N(t) 1= 1 N(t) 2 + ^ Fi - Cí­0­0 Alkalmazott Matematikai Lapok (2010)

Next