ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 27. KÖTET (A MTA Matematikai Tudományok Osztályának Közleményei, 2010)
2010 / 1. sz. - MIHÁLYKÓNÉ ORBÁN ÉVA - MIHÁLYKÓ CSABA - LAKATOS G. BÉLA: Szintátmetszési probléma és általánosítása a Sparre Andresen-modellben
2 MIHÁLYKÓNÉ ORBÁN ÉVA, MIHÁLYKÓ CSABA, LAKATOS G. BÉLA történik ez a tönkremenés. A kérdést megfogalmazza Grandell könyvében [6], és a tönkremenési probléma megoldását speciális esetben kapcsolatba hozza a klasszikus rizikófolyamat tönkremenési problémájának megoldásával. A hagyományos rizikófolyamat és a pozitív ugrásokkal történő, általunk vizsgált folyamat tönkremenési egyenleteinek összekapcsolása általánosabb esetben történt Mazza és Rulliere cikkében [7]. A pozitív ugrások esetével foglalkozik, de csak a tönkremenési valószínűség megadását tárgyalja Dong és Wang Erlang(n) eloszlású káresemények közt eltelt idők esetén [2, 3]-ban. A megfogalmazott célok érdekében végzett vizsgálatok során reflektorfénybe kerültek olyan függvények, amelyek elemzése segíti az elsődleges célok elérését, és választ adhatnak a gyakorlati problémákra. Egy ilyen függvénnyel foglalkozunk jelen dolgozatunkban. 2. A vizsgált modell Tekintsük a biztosítási matematikában gyakran használt, Sparre Andersenmodellként ismert modellt, azaz legyen to , 0, valamint legyenek is (г = 1,2,3 ... ) független, nem negatív értékű azonos eloszlású valószínűségi változók. A biztosítási terminológiában is adja meg az i — 1-edik és az г-edik kárkifizetések közt eltelt időt. Jelöljük közös eloszlásfüggvényüket F(t)-vel, sűrűségfüggvényüket F(t)-vel, Pf-tel a közös (véges) várható értéküket és éri fel a közös (véges) szórásukat. Jelölje N(t) az ideig történő káresemények számát. Az г-edik káresemény során az Yi valószínűségi változó adja meg a kifizetendő pénzmennyiséget. Az Y, valószínűségi változókról ugyancsak feltételezzük, hogy nem negatív értékűek, egymástól függetlenek, és azonos eloszlásúak G(y) eloszlásfüggvénnyel, g(y) sűrűségfüggvénnyel, fix véges várható értékkel és xx véges szórással. Feltételezzük továbbá, hogy az N(t) kárszám- folyamat és Yx egymástól függetlenek. A befizetések folyamatosan érkeznek állandó intenzitással. Jelöljük to-lal a kezdőtőkét. Ahhoz, hogy a pénztárban levő pénzmennyiség ne haladja meg a z\ — 70 szintet, az szükséges, hogy azaz a Z\ — ZQ _ d — ^ egyenlőtlenség teljesüljön minden nemnegatív értékre, 2-vel jelölve a z\ — z(l nemnegatív különbséget, vizsgáljuk a egyenlőtlenség teljesülését, ami azt jelenti, hogy a pénztárban levő pénzmennyiség növekménye nem haladja meg az értéket. N(t) 1= 1 N(t) 2 + ^ Fi - Cí00 Alkalmazott Matematikai Lapok (2010)