ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 28. KÖTET (A MTA Matematikai Tudományok Osztályának Közleményei, 2011)
MÁNFAY MÁTÉ: Poincaré-egyenlőtlenség kizárásos folyamatokra
2 MÁNFAY MÁTÉ uiA jelöli azt a konfigurációt, melyet w-ból kapunk az A-val jelölt transzformáción keresztül. Tipikusan = ui, illetve esetünkben A(w) = A (w4) is teljesülni fog. Jelölje Ел a A szerinti várható érték operátorát: Еду = X^eft vM^M ‡ Var\ a A szerint számolt szórásnégyzet értéke. Poincaré egyenlőtlensége szerint van olyan λ · 0 szám, hogy ha € T2(A) és Ед(/з = 0, akkor £ AMv'M ‰ -c A(wMw)Mw). (1) шей шесг Az egyenlőtlenség jobb oldalán a ^M = AMvM^vM U( Dirichlet-forma áll, vagyis Едуз2 › cZ›M, tehát Varip › cDip) ha ЕDip Ф 0 . A kölcsönható folyamatok elméletében gyakran feltételezett А (из) = А(шЛ) azonosság miatt A eleve stacionárius mérték, vagyis Еν Lp2 = 0, tehát Poincaré egyenlőtlensége tulajdonképpen az L generátor szimmetrikus részéről szól, ami S := (L + L*)/2 , ahol L* jelöli az L adjungáltját az T2(A) téren: LV(w) = E CU(cH) (v‹ (К И) - ě*M) , aga hacsak А (M) = A(w). Az S 2 0 operátor legnagyobb negatív sajátértékére adott becslés a stacionárius eloszláshoz való konvergencia sebességéről is információt szolgáltat. A vizsgált problémák többségénél n = +oo, de persze elsőként a tér véges részét vizsgálják, majd ezt terjesztik ki a végtelen rendszerre. 2. A Poincaré-egyenlőtlenség egyszerű alkalmazásai Először azt mutatjuk meg, hogy valószínűségi mértékek Im — Aj := 52 ImM-AMI шеп uien.AeA = CUM (tp (wA) - v(w))2 AM 2%) = 5 CUM ( M - Ч(4)2 AM. шбП.ЛеА Valóban, ЭД = 5 EаИ = ыео Alkalmazott Matematikai Lapok (2011)