II. kerületi Toldy Ferenc állami főreáliskola, Budapest, 1864
6 I.) Das Wesen des ungeschlossenen Dezimalbruches und seine Entstehung. Nachdem das Rechnen mit decadischen Zahlen seiner Gesetzmässigkeit und Einfachheit wegen sehr bedeutende Vortheile gewährt und die Dezimalbrüche, als durch consequente Erweiterung des in ersteren ausgesprochenen Systemes entstanden, zu betrachten sind und daher auch bei ihnen ganz jene Prinzipien gelten, welche der Rechner beiden verschiedenen Operationen mit und an ganzen Zahlen allgemein zu beobachten hat, so ist es von grossem Nutzen, in allen vorkommenden Fällen Rechnungsoperationen mit gemeinen Brüchen oder mit auf Grundlage anderer Systeme entstandenen Zahlen auf solche mit Dezimalbrüchen vorzunehmende zurückzuführen. Bekanntlich findet das Gesetz dieser decadischen Zusammensetzung in nachstehender Formel seinen allgemeinen Ausdruck: m m-1 m-2 m-n+1 in-n 1)...........2=a 10 -}- « 10 -(- « 10 -|—................-J- « 10 -j- « 10 m m-1 m-2 m-n+1 m-n worin a a a ... - a die in der Zahl enthaltene Zifferin m-1 m-2 m-n reihe darstellt, m und n hingegen ganze Zahlen sind, durch welche der Lokalwert jeder Ziffer derselben erst näher bestimmt wird. Nun kann m^n sein; für m=n übergeht die Gleichung (1) in: m m-1 m-2 2 2).........Z=a 10 -J- a 10 -j- «10 -(-............-j- «10 -j- «10 -f- « m m-1 m-2 2 10 worin jede ganze Zahl enthalten ist, wesshalb auch dieser Ausdruck die allgemeine Formel jeder (m-j-l) ziffrigen Zahl genannt wird; in ihr sind auch alle jene Zahlen, bei denen nG>n ist, enthalten, nur fehlen hiebei die Glieder von « 10 angefangen m-n-l bis zu Ende, was durch Nullsein der Ziffern « ............« « « m-n-l 2 10 hervorgebracht wird. Ist endlich m<^n, so ist n=m-J-p, und die Gleichung (1.) übergeht in: m m-1 -1 -2 -p Z= a 10 -j- «10 -f-.......-f- a 10—I— a -J- «10 -j- «10 -f-.. . -j- a 10 , m m-1 1 0-1 -2 -p woraus, wenn man die verschiedenen mit negativen Indices behafteten Faktoren', als Ziffern zwischen 0 und 9 liegend, mit b bezeichnet und sie durch positive Stellenzeiger zweckmässig von einander unterscheidet, man erhält; m-n-l