Evangélikus egyházkerület főtanodája, Sopron, 1855
4 szerkesztése a’ következő módon történik. Ha az adott egyenlet bonyolult de föloldható péld: f (X, Y) = p, ez Y szerint föloldatván, ’s az Y ~ ‹f‹ (X) egyenletbe X helyett rendiben X ,= — 2, — 1, 0, 1, 2, 3, . . . értékek vézetvén az egyenletből ezeknek megfelelő y értékei számítatnak, mellyek Y = $ (-2), ”t· (0), ”p (1), ”p (2). Az öszrendezők kezdőpontjától a’ metszékek tengelyén az X felvett értékei felrakatnak, úgyhogy, az X fennt jegyzett értékeinek rendiben oe, od, o, oa, ob, oc, távolyól feleljenek meg: az e’ pontokban emelt függélyekre az Y megfelelő számitott értékei tétetnek fel, ’s az igy nyert pontok öszveköttetvén adják azon idomot inn melly az egyenlet által képviseltetik. Ez alapgondolatja a’ nagy Descartes által feltalált elemező vagy felsőbb mértannak, melly egyszerűsége miatt ajánlkozik, ’s csiráit hordja magában végtelen felfedezéseknek, — melly szerint a’ nagy gondolkodó számtanilag fogván fel a’ térmenyiségeket egy uj hatalmas eszközt talált, elvont számokból a’ leg külömbözőbb, nevezetes idomokat előteremteni. — Ez által sikerült neki az Euclid által befejezettnek látszó tudományt majd kétezredes pangásából kiragadni, ’s korlátolt határait a’ végtelenbe kiterjeszteni. Ezeket előre bocsátván vegyük fel tárgyunkat és kérdezzük: milly idomok jönnek, egy másodrendű egyenletnek X és Y között, mértani szerkesztéséből, létre ? Hogy e’ kérdésre kellőleg felelhessünk, lássuk előbb alakját egy általános másodrendű egyenletnek két ismeretlennel, melly a’ következő: AX2 + BY2+- 2 CXY + 2DX + 2BY —k............(-1) a’ mellyből a' velejárók kellő változtatása által minden másodrendű egyenlet X és Y között, származtatható. Irtunk itt, C, D, E helyett 2C, 2D, 2E -t, némely előnyök miatt, mellyeket ezen fogásból nyomozásaink folytában akarunk nyerni. Már egy illy egyenletnek mértani szerkesztését a’ fennt irt módon eszközlendők, oldjuk azt fel Y szerint, ’s meghatározván a’ velejárókat, az X külömbféle tetszés szerint választott értékeinek megfelelő Y értékeit kiszámítván, használjuk azokat kellőleg. De ezen it, bármi könnyűnek látszik is az külsőleg, felette terhes; a’ velejárók változtatása és az X választott értékének megfelelő Y számítása, igen sok bajjal jár. Lássuk azért ha rövidebb útón nem juthatnánk e’ egyenletünk pontos ismeretéhez. A’ mathematikának kitűnő haszna éppen abban áll, hogy az ítélő tehetséget szemlélet által támogatja. De, hogy egy tétel szemlélhető legyen, szükség azt előbb a’ math. jelbeszédre átforditni, és viszont ezt értelmezni tudni, úgy ha kérdezzük, görbék e’, vagy egyenesek azon vonalok, mellyek az (1) egyenlet mértani szerkesztéséből erednek? nem nyerünk feleletet, mivel ezt tisztán szemlélet által vehetni észre. A’ kérdést tehát inkább igy teendjük: Hány pontban vágatnak a’ másod rendű vonalok egyenesek által ? Az (1) egyenletnek mértani szerkesztése által egy bizonyos idomra jutunk, mellynek formáját bár eleve nem esmerjük, még is annak egy darabját is felrajzolhatjuk, mivel a’ mit arról most mondandók vagyunk, az alakjától tökéletesen független. Válaszszunk most az LN vonalon kivül egy pontot P, mellynek fekvése a y, öszrendezői által legyen adva, ’s vonjunk rajta keresztül egy egyenes vonalt MM', melly az (1) egyenletből keletkező idomot M pontban vágja, és a’ metszékek tényleges tengelyével w szögletet képez, úgy ennek egyenlete lessz, a’ mit következőleg fogunk bebizonyítni. Vegyünk az NM egyenesen P ponton kívül egy másik Q pontot is fel, mellynek öszrendezőit X' és Y' által, és távolát e’ két pontnak PQ r által jelöljük. Ha PH || XX' hez, továbbá PRq, OR ®, lessz a’ QS , XX' re az Y' rendezője és OS — X' metszéke a’ Q pontnak, és QPH szöglet — w . A’ QPH Abel Y'—v . (X'-0 tg ) Fig. 3.