Katolikus főgimnázium, Temesvár, 1872
Levem Néhány szó a háromszögtanról. Bevezetés. Az idomok lényeges alkatrészeit az oldalak és szögek képezik , ha tehát valamely idom minden oldala és szöge sor szerint ismeretes, az idom kétség kívül mind alakjára mind nagyságára nézve tökéletesen meghatározott, De a síkmértanból tudjuk, hogy minden mértani idom alkatrészei között szoros összefüggés vagyon, melynél fogva az idom néhány alkatrészéből a többi rész is föltalálható. Hogy tehát valamely idomot meghatározhassunk, elégséges, annak néhány alkatrészeit ismernünk. A legegyszerűbb idom a mértanban a, háromszög. Minden háromszögnek hat alkatrésze vagyon t. i. három oldal és háromszög. Ezen hat alkatrész oly összefüggésben van, hogy bármely háromszög mind alakjára mind nagyságára nézve teljesen meghatározott, ha leróni alkatrész, mely között legalább egy oldal is fordul elő, ismeretes. E három alkatrészt kétféleképen lehet adni, ugyanis a megfelelő vonalok és szögek vagy közvetlenül terjesztetnek elő mint olyanok, vagy pedig csak azoknak mértékei adatnak, a vonalokat hoszméretben (ölek, lábakban sat.) a szögeket pedig szögméretben kifejezvén. — Az első esetben a háromszöget azonnal lehetne alakítani vagy rajzolni, a második esetben pedig a vonalakat egy mértékvessző, a szögeket egy szögmérő műszer alkalmazása által kellene előbb a papíron jelezni vagy ábrázolni, hogy a háromszöget rajzolhassuk. Ha mármost az alakítás által nyert vonalakat és szögeket szintén számokban akarnák kifejezni, világos, hogy azokat is kellene megmérni. Minthogy azonban érzékeink tökéletlensége és műszereink ranyossága miatt az ismeretlen részek megmérése igen hiányos lenne, azért már az ókor mennyiségtudósai különösen az Arabok azon iparkodtak, hogy az ismeretlen alkatrészeket nem merés, hanem számítás által meghatározhassák. A mertannak azon része, mely a háromszögnek adott részeiből az ismeretlen részeket kiszámítani tanítja, háromszögtannak (tigonometrie) neveztetik. most b, vagy c oldalt és 11 szöget akarjuk kiszámítani, a lábakat a fokok és perczekkel kell számításba hozni, de ezek különnnemű mennyiségek, melyeket egymással közvetlenül összeadni, kivonni, szorozni, osztani vagy egy szóval összehasonlítani nem lehet, minthogy az összehasonlítás eredményét nem fejezhetjük ki számokkal, így ha 20 lábat szorozunk 30 fokkal, az eredmény sem lábat, sem fokot nem jelenthet s. i. t. A menynyiségtan egyik alapelve szerint csak egynemű mennyiségeket lehet számításba hozni vagy egymással összehasonlítani; azért vagy a szögeket kell egyenes vonalok által kifejezni vagy az egyenes vonalakat szögek által; de sokkal czélszerűbb a szögeket egyenes vonalok által kifejezni, azért lássuk mikép történhetik ez. E czélra legyen A OB é v valamely B hegyes szög; vonjunk OB szárnak valamelyik pontjából 11-ből a másik szárra egy merőlegest; legyen MN A. AO, ez által MON deréksz. háromszög támadt, mely „v“ szöget magában foglalja s azon tulajdonsággal bir, hogy bármelyik két oldalának aránya állandó szám, mely akkor sem változik, ha OB számak egy másik pontjából Jf'-ből vonjuk a merőlegest, mert M'ON háromszög hasonló MON-hez, tehát hasonfektü oldalaik egyenlő arányúak, azaz: MN M‘N‘ OM 031' E szerint az említett háromszögekben a hasonfektü oldalak aránya állandó szám, mely mindaddig nem változhatik, mig a szög nem változik. — Ellenben, ha a kérdéses szög változik, az oldalak aránya is szükségkép megváltoznék. — Azért tegyük, hogy AOC szögre nézve, mely nagyobb mint MOH sz., ugyanazon arányok állanának mn NM azaz: arom OM ez esetben inon és M 0 N derék sz. háromszögek, hasonlók, következőleg AOB és AOC szögek szükségkép egyenlők lennének, ami lehetetlen, mert föltettük, hogy AOC szög nagyobb AOB szögnél. — Látjuk tehát, hogy „v* szög és a fölvett oldal-arány közt oly kölcsönös összefüggés létezik, hogy minden hegyes szögnek ezt üy-féle meghatározott oldal-arány felel meg, és megfordítva minden ilyféle arányhoz egy teljesen meghatározott szög tartoik- Lehet tehát a szögeket közvetve számításba hozni az által, hogy helyettük a megfelelő oldal-arányokat használjuk. Ezen oldal-arányok, mindegyikének külön-külön nevet adtak (2. ábra.) 11 T* 0 n N' N r A hárolyszögtani függvények. .........isa 'gamely háromszögnek három adott (s egymástól nem függő) alkatrészeiből az ismeretlen alkatrészeket kiszámítani aarjuk, a számításnál kétség kívül vonalak és szögek fordulandnak el°l amazokat hosszméretben, emezeket szögméretben fejező ABC húzuk ki, így legyen lomszögből (1. ábra.) — melyben az egyes szögeket nagy A, 10- C, betűkkel, a szögekkel szemközt fekvő oldalakat pedig a megfelelő kis a, b, c betűkkel jelöljük — odal a = 45 láb; szög G = 30° (fok) 20' (perez) és szög fs A = 90° (fok); ha -A- C (1. ábra.)