Katolikus főgimnázium, Temesvár, 1872

Levem Néhány szó a háromszögtanról. Bevezetés. Az idomok lényeges alkatrészeit az oldalak és szögek ké­pezik , ha tehát valamely idom minden oldala és szöge sor sze­rint ismeretes, az idom kétség kívül mind alakjára mind nagysá­gára nézve tökéletesen meghatározott, D­e a síkmértanból tudjuk, hogy minden mértani idom alkatrészei között szoros összefüggés vagyon, melynél fogva az idom néhány alkatrészéből a többi rész is föltalálható. Hogy tehát valamely idomot meghatároz­hassunk, elégséges, annak néhány alkatrészeit ismernünk. A legegyszerűbb idom a mértanban a, háromszög. Minden há­romszögnek hat alkatrésze vagyon t. i. három oldal és három­szög. Ezen hat alkatrész oly összefüggésben van, hogy bármely háromszög mind alakj­ára mind nagyságára nézve telj­esen meghatározott, ha le­róni alkatrész, mely között legalább egy oldal is fordul elő, is­meretes.­­ E három alkatrészt kétféleképen lehet adni, ugyan­is a megfelelő vonalok és szögek vagy közvetlenül terjesztetnek elő mint olyanok, vagy pedig csak azoknak mértékei adatnak, a vonalokat hoszméretben (ölek, lábakban sat.) a szögeket pedig szögméretben kifejezvén. — Az első esetben a háromszöget azonnal lehetne alakítani vagy rajzolni, a második esetben pe­dig a vonalakat egy mértékvessző, a szögeket egy szögmérő műszer alkalmazása által kellene előbb a papíron jelezni vagy ábrázolni, hogy a háromszöget rajzolhassuk.­­ Ha már­most az alakítás által nyert vonalakat és szögeket szintén szá­mokban akarnák kifejezni, világos, hogy azokat is kellene meg­mérni. Minthogy azonban érzékeink tökéletlensége és műszereink ranyossága miatt az ismeretlen részek megmérése igen hiá­nyos lenne, azért már az ó­kor mennyiségtudósai különösen az Arabok azon iparkodtak, hogy az ismeretlen alkatrészeket nem merés, hanem számítás által meghatározhassák. A mertannak­ azon része, mely a háromszögnek adott ré­szeiből az ismeretlen részeket kiszámítani tanítja, háromszög­­tannak (tigonometrie) neveztetik. most b, vagy c oldalt és 11 szöget akarjuk kiszámítani, a lába­kat a fokok és perczekkel kell számításba hozni, de ezek kü­­­lönnnemű mennyiségek, melyeket egymással közvetlenül össze­adni, kivonni, szorozni, osztani vagy egy szóval összehasonlítani nem lehet, minthogy az összehasonlítás eredményét nem fejez­hetjük ki számokkal, így ha 20 lábat szorozunk 30 fokkal, az eredmény sem lábat, sem fokot nem jelenthet s. i. t. A meny­­nyiségtan egyik alapelve szerint csak egynemű mennyiségeket lehet számításba hozni vagy egymással összehasonlítani; azért vagy a szögeket kell egyenes vonalok által kifejezni vagy az egyenes vonalakat szögek által; de sokkal czélszerűbb a szöge­ket egyenes vonalok által kifejezni, azért lássuk mikép történ­hetik ez. E czélra legyen A OB é v valamely B hegyes szög; vonjunk OB szárnak valame­lyik pontjából 11-ből a másik szárra egy merőlegest; legyen MN A. AO, ez által MON deréksz. há­romszög támadt, mely „v“ szöget magában foglalj­a s azon tulaj­donsággal bir, hogy bármelyik két oldalának ará­nya állandó szám, mely akkor sem változik, ha OB szám­ak egy másik pontjából Jf'-ből vonjuk a merőlegest, mert M'ON háromszög hasonló MON-h­ez, tehát hasonfektü oldalaik egyenlő arányúak, azaz: MN M‘N‘ OM 031' E szerint az említett háromszögekben a hasonfektü oldalak aránya állandó szám, mely mind­addig nem változhatik, mig a szög nem változik. — Ellenben, ha a kérdéses szög változik, az oldalak aránya is szükségkép megváltoznék. — Azért tegyük, hogy AOC szögre nézve, mely nagyobb mint MOH sz., ugyanazon arányok állanának mn NM azaz: ar­om OM ez esetben inon és M 0 N derék sz. háromszögek, hasonlók, következőleg AOB és AOC szögek szükségkép egyenlők lenné­nek, a­mi lehetetlen, mert föltettük, hogy AOC szög nagyobb AOB szögnél. — Látjuk tehát, hogy „v* szög és a fölvett oldal-arány közt oly kölcsönös összefüggés létezik, hogy minden hegyes szögnek ezt üy-féle meghatározott oldal-arány felel meg, és megfordítva minden ilyféle arányhoz egy teljesen meghatározott szög tarto­ik- Lehet tehát a szögeket közvetve számításba hozni az által, hogy helyettük a megfelelő oldal-arányokat használjuk.­­ Ezen oldal-arányok, mindegyikének külön-külön nevet adtak (2. ábra.) 11 T* 0 n N' N r A h­árolyszögtani függvények. .........isa 'gamely háromszögnek három adott (s egymástól nem függő) alkatrészeiből az ismeretlen alkatrészeket kiszámítani a­arjuk, a számításnál kétség kívül vonalak és szögek forduland­­nak el°l amazokat hosszméretben, emezeket szögméretben fejez­ő ABC hú­zuk ki, így legyen lomszögből (1. ábra.) — mely­ben az egyes szögeket nagy A, 10- C, betűkkel, a szögekkel szemközt fekvő oldalakat pedig a megfelelő kis a, b, c betűkkel jelöljük — odal a = 45 láb; szög G = 30° (fok) 20' (perez) és szög fs A = 90° (fok); ha -A- C (1. ábra.)

Next