ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 9. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1983)

1983 / 1-2. sz. - Tóth János, Érdi Péter és Török László Turul: A Poisson-eloszlás jelentősége összetett kémiai reakciók sztochasztikus modelljében

Alkalmazott Matematikai Lapok 9 (1983) 175—143 A POISSON-ELOSZLÁS JELENTŐSÉGE ÖSSZETETT KÉMIAI REAKCIÓK SZTOCHASZTIKUS MODELLJÉBEN TÓTH JÁNOS, ÉRDI PÉTER és TÖRÖK LÁSZLÓ TURUL Budapest ,.Tekintettel arra a folyamatos vitára, amely a kémiai reakciókban végbemenő fluktuációkról zajlik, hasznosnak tűnik akár csak egy világosan megfogalmazott ered­mény is." VAN KAMPEN [19, 333. oldal] Ismertetjük az összetett kémiai reakciók globális sztochasztikus modelljét a reakciók Volpert­féle megadása alapján. Felírjuk a modellre vonatkozó evolúciós egyenleteket. Elégséges feltételt adunk arra, hogy egy reakció stacionárius eloszlása egycsúcsú legyen. Egyszerű születési-halálozási reakciók és polinomiális egyszerű populációs Markov-folyamatok esetén szükséges és elégséges feltételt adunk arra, hogy egy reakció stacionárius eloszlása Poisson­eloszlás legyen. Kiderül, hogy ez — az irodalom egy részében kifejezett várakozással ellentétben — igen ritkán teljesül. Vázoljuk a termodinamikai fluktuációelméletnek és a stacionárius eloszlások alakjának a kap­csolatát. Megfogalmazunk néhány, az alkalmazások szempontjából érdekesnek tűnő, nyílt matematikai problémát. Külön függelékben ismertettük WHITTLE egy eredményét, amely bizonyos folyamatok stacio­nárius eloszlására vonatkozik. Ez a dolgozat a [9, 10, 41, 45] angol nyelvű dolgozatok matematikai eredményeit foglalja össze. 1. Bevezetés Az e helyen megjelent korábbi dolgozatainkban az összetett kémiai reakciók globális (tehát térbeli inhomogenitásokat figyelmen kívül hagyó), folytonos idejű, folytonos állapotterű, determinisztikus modelljével foglalkoztunk, lásd például [43]. Ez a determinisztikus modell — bár történetileg is, gyakorlatilag is fontos — nem elegendően pontos mindenfajta reakciókinetikai jelenség követésére. Kis rendszerek tanulmányozásánál, ,,egzotikus" jelenségek (instabilitás, multistacionalitás, periodi­citás) vizsgálatánál, és paraméterbecslésnél esetenként hasznosabb lehet az összetett kémiai reakció szokásos, folytonos idejű, globális sztochasztikus modellje, amely a kémiai rendszer állapotát az atomi-molekuláris szemlélettel összhangban diszkrét­nek tekinti, és figyelembe veszi a véletlen ingadozásokat, továbbá inkább kapcsolatba hozható a nemegyensúlyi termodinamika elméletével [6, 8. oldal; 7, 8]. Ezt a modellt elsőként LEONTOVICS fogalmazta meg 1935-ben. A negyvenes évek munkáiból elsősorban — a később fizikusból biokémikussá lett — DELBRÜCK, továbbá SIEGERT egy-egy dolgozata említendő meg. LEONTOVICS, SIEGERT (és az alább idézendő GANS) nem kifejezetten kémiai komponensekről, hanem különböző energiaszintű állapotokról beszélnek, így mmn- 10 Alkalmazott Matematikai Lapok 9 (1983)

Next