ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 14. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1989)

1989 / 1-2. sz. - Gyires Béla: Valószínűségi eloszlásfüggvények felbontásáról

Alkalmazott Matematikai Lapok 14 (1989) 1—25 VALÓSZÍNŰSÉGI ELOSZLÁSFÜGGVÉNYEK FELBONTÁSÁRÓL GYIRES BÉLA Debrecen Az értekezésnek célja annak a néhány gondolatnak a továbbfejlesztése, amelyeket az irodalom­jegyzékben szereplő [4] és [5] dolgozatában alkalmazott a szerző két speciális esetben valószínűségi eloszlásfüggvényeknek valószínűségi eloszlás függvények lineáris kombinációival történő előállítá­sára. Kiderült, hogy a felhasznált módszerek teljes általánosságban is alkalmazhatók valószínűségi eloszlásfüggvényeknek valószínűségi eloszlásfüggvényekkel való felbontására. A dolgozat négy fejezetre oszlik. Az elsőben a szükséges definíciók megadása után a kitűzött feladat pontos megfogalmazását adja meg a szerző. A második fejezet „ad hoc" dekompozíciós eljá­rásokkal foglalkozik. Ezek a konvolúció esete, a momentumok felhasználásával történő felbontható­ság esete, és végül a szűkebb értelemben vett dekompozíciós eljárások rövid ismertetése. A harmadik fejezet a valószínűségi eloszlásfüggvények közti alkalmasan megválasztott távolsági fogalomra építve olyan módszert ismertet, amely tetszés szerinti valószínűségi eloszlásfüggvény felbonthatóságának kérdéskörében alkalmazható. Az előző fejezet eredményeit felhasználva a negyedik fejezet három speciális esetben foglalkozik a felbonthatóság kérdésével. Mégpedig abban az esetben, ha a súlyfügg­vények diszkrét eloszlásfüggvények, amelyeknek véges számú rögzített helyen lehet ugrásuk. Ha a súlyfüggvények diszkrét eloszlásfüggvények, amelyeknek végtelen sok adott helyen lehet diszkon­tinuitásuk. Ha a felbontandó eloszlásfüggvény és a felbontásban szereplő eloszlásfüggvény-család valamely véges vagy végtelen intervallumra koncentrálódik, és a súlyfüggvények négyzetesen integ­rálható sűrűségfüggvények. 1. A feladat megfogalmazása Közismert, hogy F(x), xfR valószínűségi eloszlásfüggvény (röviden eloszlás­függvény) akkor és csak akkor, ha a) nemcsökkenő­, b) jobbról folytonos, c) F{ — °°) = =0, F(°°)= 1. Jelölje E az eloszlásfüggvények halmazát. Ismeretes a LEBESGUE-tÓl származó következő felbontás: HA F£E, akkor F(x) = xFa(x)+fSFf(x) + yFs(x), aeO, jSsO, yisO, a + p + y­e l, ahol a jobb oldalon álló valamennyi függvény nem­ csökkenő. Ff(x) lépcsős függvény, amelynek diszkontinuitásai egyben E(x) diszkontinuitásai is és megfordítva. Fa(x) szigorúan monoton növekvő, a Lebesgue-mértékre nézve abszolút folytonos. Fs(x) szinguláris függvény, azaz folytonos, monoton növekvő és Fs(­y) = 0 majdnem min­denütt. Ha ß=l, azaz F(x) = Fs(x), akkor F(x) diszkrét eloszlásfüggvény véges vagy megszámlálható végtelen sok diszkontinuitási ponttal. Jelölje ezek halmazát E.. 1 A szerző akadémiai székfoglaló előadásának írásos változata. Alkalmazott Matematikai Lapok 14 (1989)

Next