Müegyetemi lapok. Havi folyóirat a mathematika, természettudományok és a technikai tudományok elmélete köréből 2. (1877)

1877 / 14. füzet - Hunyady Jenő: Apollonius feladatának megoldásához

A megfejtést determinánsok segítségével végezzük, különben megje­gyezzük, hogy kiinduló pontunk, valamint az általunk követett út, Mertens úr megoldásáétól egészen eltérő. 1. Mielőtt a feladat megoldásához fognánk, előre kiemeljük, hogy a kérdéses feladatnak általában több megoldás felelhet meg. Ennek belátására az adott körökről felteszszük, hogy azok egymást ne messék és közülök egyik se keríttessék be a másika által. Az adott körök helyzetéről, az előbb említett különös esetet szem előtt tartva, látjuk, hogy a keresett érintő kör érintheti a három adott kört: a) Úgy, hogy a keresett kör a három adott kört kizárja, tehát mind a hármat kizárólag. b) Úgy, hogy az érintő kör a három adott kört magába zárja, tehát mind a hármat bezárólag. c) Kettőt kizárólag és egyet bezárólag. d) Egyet kizárólag és kettőt bezárólag. Miután a c) és d) alatti pontok közöl mindegyik három megol­dást foglal magában, látjuk, hogy a kiszemelt esetben a feladatnak nyolc­ megoldása van. 2. A feladat megoldását azzal az esettel kezdjük meg, midőn a három adott körhöz az őket kizárólag érintő kör sugarát keressük, megjegyezvén, hogy a többi megoldások is ebből egyszerű módosítások által erednek. Jelöljük az adott körök középpontjait­­, 2 és 3-mal, sugarait pedig 11, r2, 13-mal, a keresett kör középpontját O-val és sugaráto-val; továbbá az 1,2,3 pontok által meghatározott háromszög 23, 31, 12 oldalait a, b, c-vel, úgy az 1, 2, 3 és 0 pontokat egyenesek által össze­kötve, az 0123 teljes négyszög ered, melynek 0 csúcsában találkozó oldalai a következők: 01 · r1 -f Q 0­2 — r1 -j- Q 03 — r3 + Q az ezeknek szemben fekvői oldalak pedig a, b, c. A teljes négyszög e hat oldala között bizonyos összefüggés léte­zik, mely a jelen esetben a következő egyenlet által van kifejezve : 17) ,7) Lásd a szerző értekezésében »A determinánsok a mértanban* »Műegyet. Lapok« I. köt. ,236. lapon a (7.) alatti egyenletet.

Next