Oktatási Közlöny, 2001. január-június (45. évfolyam, 1-16. szám)
2001-01-25 / 1. szám
2 OKTATÁSI KÖZLÖNY unka, villamosságtan stb.), gazdasági és üzleti matematika és az operációkutatás területén, jártasak a modern matematikai eljárások alkalmazásában, képesek felismerni a munkahelyük szakterületén felmerülő új matematikai problémákat, továbbá tudják alkalmazni a modern számítógépes eszközöket, valamint képesek mérnökökkel, közgazdászokkal és természettudományos szakemberekkel közösen dolgozni műszaki és gazdasági problémák megoldásán. 2. Az oklevélben szereplő szakképzettség megnevezése okleveles alkalmazott matematikus. 3. A képzési idő 10 félév, a 166/1997. (X. 3.) Korm. rendelet 3. számú mellékletének 3 .a) pontjában foglaltak figyelembevételével. 4. A képzés főbb tanulmányi területei a) Egyéb természettudományos ismeretek A matematika területéről - a geometria, számítógépes geometria, - a véges matematika, kombinatorika, diszkrét matematika, - az operációkutatás, lineáris és nemlineáris programozás, alkalmazásai, - a számítógéptudomány, algoritmuselmélet, informatika területeket átfogóan legalább 28 szakmai tanulmányi munkaegység teljesítése szükséges. Nem a matematika területére eső természettudományok, műszaki tudományok területéről legalább 16 szakmai tanulmányi munkaegység teljesítése szükséges. b) Nem természettudományos ismeretek A 166/1997. (X. 33.) Korm. rendelet 3. számú mellékletének 4. b) pontjára tekintettel legalább 6 szakmai tanulmányi munkaegység. c) Szakmai törzsanyag Algebra és Számelmélet Természetes számok, műveletek, rendezés. Egész számok gyűrűje, rendezés. A racionális számok teste. Komplex számok, egységgyökök. Egyértelmű prímfaktorizáció az egész számok gyűrűjében, a racionális, valós és komplex együtthatós polinomok gyűrűjében. Test feletti polinomgyűrűk, gyökök. Algebra alaptétele. Szimmetrikus polinomok. Többhatározatlan polinomgyűrűk. Számelméleti függvények. Osztók száma, összege, a prímfaktorok száma. Az Euler- és Moebius-függvény és alkalmazásaik. Additív és multiplikatív függvények. Osztókra vonatkozó összegzési függvény. Kongruenciák. Lineáris kongruenciák és kongruencia rendszerek. Az Euler-Fermat-tétel. A kongruenciák alkalmazásai (az RSA algoritmus, kódolás kínai maradéktétellel, pszeudovéletlen sorozatok). Elemi prímszámelmélet, a prímek száma. Diophantikus egyenletek. Pythagoraszi számhármasok. Vektortér, bázis, dimenzió, alterek. Faktortér, direkt összeg. Duális tér. Lineáris leképezések, transzformációk, mátrixok. Képtér, magtér. Mátrixok algebrája, invertálhatóság, rang. Determináns, kifejtési tétel, nyom, karakterisztikus polinom. Lineáris egyenletrendszerek. Megoldhatóság. Cramer-szabály. Sajátérték, sajátaltér, invariáns altér. Bilineáris formák és kvadratikus alakok. Ortogonalitás, altér ortogonális komplementuma, ortonormált bázis. Euklideszi terek. Önadjungált és ortogonális transzformációk, főtengely transzformáció. Euklideszi terek klasszikus transzformáció csoportjai. Csoport definíció. Mellékosztályok, Lagrange-tétel. Homomorfizmusok, normálosztó, faktorcsoport, homomorfizmus-tétel, izomorfizmus-tételek. Szabad csoportok, definiáló relációk. Centrum, kommutátor, feloldható csoportok, egyszerű csoportok. Permutáció csoportok, permutációk felbontása, Cayley-tétel. Direkt szorzat, direkt felbontás. Véges Abel-csoportok alaptétele. Gyűrűk, részgyűrű, homomorfizmus ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus-tétel, izomorfizmus-tételek. Hányadosgyűrű és hányadostest. Körosztási polinom. Egyértelmű prímfaktorizáció, főideálgyűrűk, euklideszi gyűrű. Gyűrű feletti polinomgyűrű. Testek, testbővítések, algebrai és transzcendens bővítések. Véges testek alkalmazásai: hibajavító kódok, BCH-kódok, kvadratikus maradék kódok, perfekt kódok. Részben rendezett halmazok, hálók. Moduláris és disztributív hálók. Boole-algebrák. Analízis Valós számok. Testaxiómák, rendezési axiómák. Archimedesi és Cantor-féle axióma. Számsorozatok határértéke. Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel. Cauchy konvergencia kritérium. n-dimenziós tér. Pontsorozat konvergenciája. Topológiai alapfogalmak. Függvények határértéke, folytonossága. Bolzano-tétel, Weierstrass-tétel, Heine-tétel. Egyváltozós függvények differenciálhatósága, differenciálási szabályok. Függvény diszkusszió. Középérték tételek. Elemi függvények. Egyváltozós függvény Riemann-integrálja. Integrálhatósági feltételek, integrálási szabályok. Primitív függvény, Newton-Leibnitz-szabály. Az integrálfüggvény, folytonossága, differenciálhatósága. 1. szám