Népszava, 2002. április (130. évfolyam, 76–100. sz.)

2002-04-20 / 92. szám

102002. ÁPRILIS 20., SZOMBAT TANULJ VELÜNK! A Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium és a Népszava közös felvételi előkészítője MATEMATIKA 19. (megoldás) 1. feladat I. megoldás. A feltétel szerint Sl0 = = lQO és Sm = 100(a^+a'»pj =10, ahonnan (1) a,+a10 = 20, illetve (2) a,+al00l=i­­­99 A két egyenlet különbségét képezve al00 - an = - - 20 = ——. Felhasználva, hogy n * m esetén =^d , ahol d a számtani n - m sorozat differenciája, o _ o 11 god = 100 (l)-ből 20 = a.+ab­ = 2a,+9d =2a.-------. 90 50 i io i 1­50 , 1099 . . „ 110-(2a, + 109d) 11A mncn a'= TöcT'esigy S|10 =---------2 — = _n0-A sorozat első 110 elemének összege tehát -110. . Megjegyzés Számtani, illetve mértani sorozatokra vonatkozó számítási feladatok szokásos megoldása, hogy a feltételekből kiszámítjuk a sorozat definiáló adatait, az első tagot és a differrenciát , illetve a hányadost, majd az ismert formulák valamelyik alakját használjuk tovább. Gyakori azonban, hogy a feladat áttekinthetőbben oldható meg, ha megkerüljük ezeknek az adatoknak a közvetlen kiszámítását. II. megoldás: Igazoljunk először egy általános összefüggést a számtani sorozat első n elemének az összegére. Ha ezt a szokásos 5 —5 5 módon 5„ jelöli, akkor —-------— =—ü±£2_? ha n és m különböző n - m n + m pozitív egészek. Bizonyítás Ismeretes, hogy 5„ az n másodfokú polinomja, amelyben a konstans tag nulla: (*) 5n = p ■ n2 + q ■ n , ahol és q = a,­­y, ahol a, a sorozat első elemét, d pedig a differenciáját jelöli. (A bizonyításhoz nincs szükség a p , illetve a q értékére, csak arra, hogy a (*) alak létezik .) Behelyettesítve: S -S pmn2 - m2­ + q(n - m) —-------— =—------------------------------------= p(n + m) + q n - m n - m­ Ha most bővítünk (n + m)-mel, akkor . . p(n + m)2 +q(n + m) Sn.m p(n + m) + q = —---------------—---------------= — a bizonyítandó egyenlőség másik oldalát kapjuk. Ha most n = 100 és m = 10, akkor —— = S 1­10+10 ,azaz 100-10 100 + 10 Sno = 11010~100 = -110. "0 90 2. feladat Az x tengelyt a PQ egyenes az R(4,0) pontban metszi. R-nek a körre vonatkozó hatványa RP ■ RQ = p2 • Vs = 4. Ezek szerint az R-ből a körhöz húzott érintőn az érintési pont távolsága R-től 2. Az egyik R-en átmenő érintő pont az x tengely, tehát az érintési pont lehet E(6,0), vagy G(2,0). A keresett körök közül az x-et E-ben érintő egyenlete (x—6)2+(y— 1 )2=1, a másik megoldás a G-ben érintő, amelynek egyenlete (x-2)2+(y-5)2=25. 3. feladat Mivel sin2 2x = 1-cos2 2x és 2cos2 x = 1 + cos2x, ezért azonos átalakításokkal /(x) = 1­^cos2x-yj • Tudjuk, hogy­­1 + cos2x = 1, ezért 3^ a 1 ^ 1 2 2 2 ( 1Y 9 0)1 cos2x - —1 )­,így Az f(x) a legnagyobb értékét, 1-et akkor veszi fel, ha 2x = — + 2kn vagy 2x = — + 2kn, k­e Z, 3 3 azaz x = —+kn, vagy x = — + kn helyeken veszi fel, és ezek 6­6 közül az x, = — és az x2 = — esik a [0,tr] intervallumba. 6­­­6 Az f(x) a legkisebb értékét, - --et akkor veszi fel, ha 4 cos 2x- — = - — , azaz cos 2x=-1, 2 2 2x = n + 2kn. x = —+kn, ke Z. 2 Ezek közül csak az x3 = — esik a [0,?t] intervallumba. 4. feladat Legyen a gömb sugara R. A festékréteg térfogatát megkapjuk, ha az R+10'3 sugarú gömb térfogatából kivonjuk az R sugarú gömb térfogatát. (A hosszúságot méterben mérjük) + 10-’)3 - R ’] = ^(3R J ■ 10-J + 1R ■ 10-* + 10’) V festék­ gömb értékét csökkentjük, ha a zárójelben az utolsó két pozitív tagot elhagyjuk. _______________ i 3 .o-(.) f 1 mm A felszínből: i'.- - -,i , 3 6=4 R'Ti, tehát R‘=— } } , 2 st : wp Ezt (1 )-be írva: !_________L____g' ’ =610 J (m3) 3 2K V A gömb befestéséhez 6 • 10 3 m 3-nél több festék szükséges. A kocka egy lapjának területe 1 m2, élhossza 1m. Ha a festett kockát egy 1,001 m élhosszúságú kockának képzeljük el, akkor ennek térfogata nagyobb, mint a valódi kockáé. Az élek és csúcsok mentén a festékréteg "lekerekített", így 1+1­0’3)3-13(3 • 10'3+3 • 10'6+10*-1 6-10'3(m3) A kocka befestéséhez 6 • 1(T3m 3-nél kevesebb festék szükséges. A gömb befestéséhez több festéket használunk.­­ 5. feladat Ezt a látszólag algebra feladatot az elemi geometria ismeretét igénylő módszerrel oldjuk meg. Készítsük el a következő ábrát! * B OB = b , OA = a , CA = AD = c Következésképpen : OC = a-c, QD = a + c Pithagorasz tételét többször alkalmazva: BC = Vb2 +(a -c)2 AB = Va2 + b2 O----------------------D BD = ^]b2+(a +c)2 Azt kell bizonyítani, hogy BC+B­D­ 2AB (Az esetleg elfajuló háromszög két oldalának összege nem kisebb, mint az általuk l'A'zrf»fr\rrntt d­'ir\rvnr»al l'ptc­ rprf»«;*»’) Ez az állítás elemi úton könnyen bizonyítható. Tükrözzük a CBD háromszöget A pontra! Tekintsük a BCB' háromszöget! (BB'1 2AB) Erre alkalmazva a háromszög egyenlőtlenséget, az állításhoz jutunk. II. megoldás: Vezessünk be vektorokat! C& (a-c; b) OB (a+c; b)­­► OF (a;b) Innen : ^A+OB Z*Qp azaz OA + OB = 20F A vektorok 2 összeadására vonatkozó szabály szerint e vektorok hossza között fennálló összefüggés éppen az állítást adja. 6. feladat Induljunk ki az alacsonyabb fokú (2) egyenletből! Legyen x + y = xy q, s ekkor a gyökök és együtthatók közötti összefüggések miatt a (3) z2-qz + q = 0 egyenlet két gyöke x és y. A q segédparaméterre korlátozó feltételt kapunk, mert az egyenlet diszkriminánsa nem lehet negatív: 0 = q2 — 4q · 0, ha (4) q = 0 vagy 4 ‰ q. (Ehhez az eredményhez úgy is eljuthatunk, ha az x + q = q, xy = q egyenletrendszer megoldhatóságát vizsgáljuk meg.) Az (1) egyenlet szimmetrikus, ezért (x + y)-nal és xy-nal, vagyis q-val kifejezhető, x3 + q3 = (x + y)3 -3xy(x + y), így (1) q3 - 3q2 + +3q = p alakban írható fel. Mindkét oldalból 1-et kivonva q3 - 3q2 + 3q - 1 = p - 1, (q­­)3 = p 1-A q-ra kapott (4) feltételt visszahelyettesítve (q-l)3S-1 vagy 33 ‰(q-l)1, p — 1 ‰ —1 vagy 27 ‰ p - 1, p · 0 vagy 28 ‰ p. A lépéseket megfordítva ezen p értékekre (4) teljesül, a (3) és így a (2) egyenletnek is lesz megoldása. Tehát p · 0 vagy 28 ‰ p értékekre van megoldása az eredeti egyenletrendszernek. Úgy látjuk be STL szögről, hogy 90°, hogy STL háromszög másik két szögének összegéről megmutatjuk, hogy 90°. CS ív = LB ív, AL ív = LB ív, CK ív = KA ív, a szögfelezések miatt. ASL szög AL ív . kerületi szöge, KLS szög KS ív kerületi szöge. AL ív és KS ív együtt kiadja a félkört, ezért a két kerületi szög összege 90°. 8. feladat . Húzzunk P-n keresztül egy tetszőleges egyenest, amely nem megy át piros ponton. (Ilyen egyenes van, mert végtelen sok egyenes megy át P-n, és csak véges sok piros pont van.) Jelöljünk ki az egyenesen egy irányt, legyen az ez irány szerinti bal oldalán B darab piros pont, jobb oldalán 1 darab piros pont. B + 1 =2000. Ha B =1000, akkor nyilván kész vagyunk. Ha nem, akkor B és J egyike nagyobb ezernél, feltehetjük, hogy B+1000. Kezdjük el forgatni az egyenest P körül pozitív irányba. Minthogy a 2001 pont közül semelyik három nincs egy egyenesen, így a forgatás­­ során mindig legfeljebb egy piros pont lesz az egyenesen. Forgassuk addig, amíg az első piros pont rá nem kerül. Ha még egy kicsit tovább forgatjuk, akkor pontosan egy pont kerül át az egyenes egyik partjáról a másikra, tehát B (s ugyanígy J) értéke vagy eggyel csökkent, vagy eggyel nőtt. Ha tovább forgatjuk az egyenest pozitív irányba, minden alkalommal, amikor új pont kerül rá, utána B (és J) értéke eggyel változik. Vegyük észre, hogy amikor pontosan 180°-kal forgatjuk el az egyenest, akkor bal és jobb oldala megcserélődik, tehát B és / értéke az eredetihez képest felcserélődik, így most éppen 2000-B kezdet lesz. Mivel B értéke kezdetben (azaz B-del) ezernél nagyobb volt, most B értéke ezernél kisebb lesz. De láttuk, hogy B értéke egyesével változik. Kezdetben nagyobb volt ezernél, a végállapotban kisebb ezernél, tehát volt az egyenesnek egy olyan helyzete, amikor egyenlő volt ezerrel, s ekkor­a értéke is ezer volt. Ezt kellett éppen bizonyítanunk. MAGYAR NYELV ÉS IRODALOM 19. (megoldás) VERSENYFELADATOK A feladatok megoldásához a Népszavában megjelent felvételi témakörök ismertetései (Magyar nyelv és irodalom 1-18.) nyújtanak segítséget. 1. Kire, melyik szerzőre vonatkoznak a következő megállapítá­sok? Pótolja a hiányzó közléselemet is! a / A gazdag és sokrétű görög lírából az utókorra gyakorolt hatá­sával emelkedik ki a Leszbosz szigeti vallási-költői kör ve­zetője. Bár nagyon sokféle műfajban alkotott, költeményei kö­zül az egyéni érzés elevenségét sugárzó szerelmi dalai (Édes­anyám, nem perdül a rokka...; Ez lovas népet, gyalogost a má­sik...) és ... írott himnusza a legismertebbek. A szerző neve: Szapphó A hiányzó cím: Aphroditéhez (Magyar nyelv és irodalom 1.) b / Az 1840-es évek lírai terméséből a ... című óda a romantika művészeszményét láttatja a kortárs zeneszerzőben, akiben egyesül a világpolgár és a hazafi, s aki a legtökéletesebb művé­szeti ág képviselője. A szerző neve: Vörösmarty Mihály A hiányzó cím: Liszt Ferenchez (Magyar nyelv és irodalom 9.) c / Alkotói pályájának indulását nagyban segítette Ady fellépése. Az ... ugar motívuma felszabadítja (...) kortársaihoz képest hatalmas és egyedi életanyagát, melyet szülőföldjéről és a szat­mári népköltési gyűjtőúton szerzett. A szerző néve:Móricz Zsigmond A hiányzó köteteim: Új versek (Magyar nyelv és irodalom 15.)­­ / A kései (...) versek reprezentatív műfaja az ..., mellyel Vergi­lius kilencedik ... fordításakor ismerkedik meg s válik a buko­­likus ének a világkép legfőbb hordozójává. A szerző neve: Radnóti Miklós A hiányzó műfaj­ ekloga (Magyar nyelv és irodalom 17.) . / Az életmű nagy összegzője a 370 tizennyolc soros költe­ményből álló ... A versciklus apró pillanatképei - a bergsoni önkéntelen emlékezés elvére is épülve - a gyermeki élmé­nyektől az önmagára eszmélés folyamatán át a művészi beér­kezés és számvetés gazdag hangvételű lírai dokumentumai. A szerző neve: Szabó Lőrinc A hiányzó versciklus: Tücsökzene (Magyar nyelv és irodalom 18.) Elérhető pontszám: 10­2. Kinek a nevéhez fűződnek az alábbi esszék, értekezések? a / Valami az asszonáncról: Arany János (Magyar nyelv és iroda­­­­lom 10.) b / Az amerikai demokrácia: Alexis de Tocqueville (Magyar nyelv és irodalom 7.) c / Egy magyar társaság iránt való jámbor szándék: Bessenyei György (Magyar nyelv és irodalom 5.) d / Poétái harmonistika: Berzsenyi Dániel (Magyar nyelv és iro­dalom 6.) e / Mi az oka annak, hogy Magyarországban a játékszíni költő­mesterség lábra nem tud kapni?: Katona József (Magyar nyelv és irodalom 8.) Elérhető pontszám: 10­3. Ki volt az ihlető, kihez írták az alábbi költeményeket? a / Balassi Bálint: Hogy Júliára talála... A múzsa neve: Losonczi Anna (Magyar nyelv és irodalom 3.) b / Catullus: Gyűlölök és szeretek... A múzsa neve: Lesbia (Clodia) (Magyar nyelv és irodalom 1.) c / Csokonai Vitéz Mihály: Az esküvés A múzsa neve Vajda Julianna (Lilla) (Magyar nyelv és irodalom 6.) d / Vörösmarty Mihály: A merengőhöz A múzsa neve Csajághy Laura (Magyar nyelv és irodalom 9.) e / Petőfi Sándor: Szerelem gyöngyei A múzsa neve Mednyánszky Berta (Magyar nyelv és irodalom 10.) Elérhető pontszám: 10­4. Kitől származnak az alábbi szállóigék? a / Minden dolgok mértéke az ember: Prótagorasz (Magyar nyelv és irodalom 1.) b / Mint sas a több apró madarak előtt: Rimay János (Magyar nyelv és irodalom 3.) c / Szép az, amit fogalmak nélkül, az általános gyönyör objektu­maként képzelünk el: Immanuel Kant (Magyar nyelv és irodalom 4.) d / Romantika... nem más, mint a liberalizmus az irodalomban: Victor Hugo (Magyar nyelv és irodalom 7.) e / Isten meghalt: Friedrich Nietzsche (Magyar nyelv és irodalom 12.) Elérhető pontszám: 10­ 5. Nevezze meg az alább meghatározott fogalmakat! a / Szereptípus, a józan ész képviselője, az író szócsöve: rezonőr (Magyar nyelv és irodalom 4.) b / Valamilyen mű egyéni szempontú újrafeldolgozása: parafrá­zis (Magyar nyelv és irodalom 3.) c / Rövid, szellemes, egyetlen problémát felvillantó, a tanulságot világosan láttató szépirodalmi-publicisztikai műfaj: karcolat (Magyar nyelv és irodalom 11.) d / Prózai vagy verses formájú kisepikai alkotás; a rövid, tanító szándékú történetek többnyire állatszereplőkkel, melyek alap­vető emberi magatartásformákat példáznak: fabula (Magyar nyelv és irodalom 1.) e / Versforma, 14 jambikus sorból álló költemény, meghatározott rímszerkezettel: szonettforma (Magyar nyelv és irodalom 2.) Elérhető pontszám: 10­6. Ki fordította a következő műveket, kinek a nevéhez kö­tődnek a fordításkötetek? a / Shakespeare: János király A fordító neve: Arany János (Magyar nyelv és irodalom 10.) b / Dante: Isteni színjáték A fordító neve: Babits Mihály (Magyar nyelv és irodalom 16.) c / Örök barátaink A fordító neve: Szabó Lőrinc (Magyar nyelv és irodalom 18.) d / Modern költők A fordító neve: Kosztolányi Dezső (Magyar nyelv és irodalom 16.) e / Orpheus nyomában A fordító neve: Radnóti Miklós (Magyar nyelv és irodalom 17.) Elérhető pontszám: 10­7. Töltseld a táblázatot! A szerző neve Születési A mű címe Műfaja hely idő Mikszáth Kálmán Szklabonya 1847 Agózoni Szűz Mária novella Tóth Árpád Arad 1886 pl. Elégia egy rekettyebokorhoz elégia Berzsenyi Dániel Egyházashetye 1776 pl. Vitkovics Mihályhoz episztola Zrínyi Miklós Csáktornya 1620 Az idő és hírnév epigramma Karinthy Frigyes Budapest 1887 pl. Capillária antiutópia Nagy László Felsőiszkáz 1925 Adjon az Isten dal Petőfi Sándor Kiskőrös 1823 A hóhér kötete regény Elérhető pontszám: 20­8. Melyik irodalmi alkotásban szerepelnek a következő sze­replők? Nevezze meg a szerzőt és a mű címét is! a / Kőcserepy Vilma: Jókai Mór: Egy magyar nábob / Kárpáthy Zoltán (Magyar nyelv és irodalom 11.) b / Etele: Arany János: Buda halála (Magyar nyelv és irodalom 10.) c / Sergioius: Madách Imre: Az ember tragédiája (Magyar nyelv és irodalom 8.) d / Jean Valjean: Victor Hugo: Nyomorultak (Magyar nyelv és irodalom 7.) e / Tóth Mihály: Mikszáth Kálmán: A Noszty fiú esete a Tóth Marival (Magyar nyelv és irodalom 11.) Elérhető pontszám: 10 9. Mutassa be a szürrealizmus művészi-esztétikai törekvé­seit! Bemutatásában legalább öt közléselem szerepeljen! A bemutatáshoz lásd Magyar nyelv és irodalom 13. Elérhető pontszám: 10 TÖRTÉNELEM 19. (megoldás) 1.) Adja meg a következő fogalmak, elnevezések idegen megfelelőjét! - Démoszthenész athéni szónok makedónellenes beszédei - a Perzsa Birodalom közigazgatási egységei, tartományai - Nagy Sándor utódhadvezérei - a városi kézművesek szakmák szerinti testületei a Római Birodalomban - az 1054-es egyházszakadás - lengyel köznemesség - magyar rendi országgyűlés - Valois Henrik Lengyelországgal kapcsolatos törvényei - philippikák - satrapiák - diadokhoszok - collégiumok - szkizma - szlachta - diéta - Articuli Henriciani - a parlamenti házszabályok adta lehetőségek kihasználásával a törvényhozó munka akadályozása - obstrukció - palesztin felkelés - intifáda Elérhető pontszám: 10­ 2. ) Melyik évben zajlottak csaták a következő helyszíneken és ki (név szerint) volt a győztes fél? (Csak a teljes egészé­ben helyes válasz esetén adható pont!) Melyik mai ország területén találhatóak az adott helyek? - Khaironeia II. Philipposz makedón király Kr. e. 338 (Nagy Sándor is elfogadható) Görögország - Isszosz Nagy Sándor makedón uralkodó Kr. e. 333 Törökország - Gallipoli Orhán török szultán Törökország 1354 - Morvamező Habsburg Rudolf német-római császár 1278 Ausztria - Ménfő Orseolo Péter magyar király 1044 (vagy III. Henrik német-római császár) Magyarország - Rigómező I. Murád török szultán (vagy II. Murád 1389 török szultán) (vagy 1448) Szerbia (Jugoszlávia is elfogadható) - Nikápoly I. Bajazid török szultán Bulgária 1396 Elérhető pontszám: 14­3. ) Ki volt a bizánci uralkodó a következő események idején? - magyar honfoglalás Bölcs Leo - Nemanja István uralkodásának kezdete Manuel Komnénosz - az első Bolgár Cárság megsemmisítése II. „Bolgárölő” Baszileusz - a Latin Császárság megszűnése Palailogos Mihály Elérhető pontszám: 4­4. ) Mely államtól mely államhoz kerültek a következő tör­ténelmi területek a megadott békék, szerződések időpont­jában? -Livónia, 1721 Svédország-»Oroszország - Szilézia, 1748 Habsburg Birodalom —» Poroszország -Isztria, 1947 Olaszország-»Jugoszlávia - Besszarábia, 1920 Szovjet-Oroszország —» Románia -Bosznia-Hercegovina, 1878 Oszmán-Török Birodalom —» Osztrák-Magyar Monarchia Elérhető pontszám: 10­5. ) Milyen legmagasabb állami tisztséget viseltek a követ­kező személyek és mely országban? (Csak a teljes egészé­ben helyes válasz esetén adható pont!) Meddig (év) töltöt­ték be ezt a tisztséget? - Sándor Lipót magyar nádor, 1795 - Metternich osztrák kancellár, 1848 - Fejérváry Géza magyar miniszterelnök, 1906 - F. Ebert német köztársasági elnök, 1925 - Csou En-laj kínai miniszterelnök, 1976 - Sztambolijszki bolgár miniszterelnök, 1923 - Franco spanyol caudillo, 1975 - Karadjordjevics Sándor jugoszláv király, 1934 -Adenauer az NSZK kancellárja, 1963 Elérhető pontszám: 18­6. ) Az alábbi békék mikor születtek? Mely személyek kö­tötték? Kik kötötték? (két személy esetén 1 pont) bécsi béke 1606 Habsburg Rudolf magyar király — Bocskai István erdélyi fejedelem nikolsburgi béke 1621 Habsburg II. Ferdinánd magyar király — Bethlen Gábor erdélyi fejedelem második drinápolyi béke 1568 Habsburg II. Miksa német-római császár — II. Szelim török szultán linzi béke 1645 Habsburg III. Ferdinánd magyar király — I. Rákóczi György erdélyi fejedelem Elérhető pontszám: 8­7. ) Kire vagy mire vonatkoznak a következő megállapí­tások? - „Európa puskaporos hordója” a Balkán - „Európa beteg embere” Oszmán-Török Birodalom - „Európa csendőre” Oroszország - „Acélember” Sztálin - „Kálvinista Róma” Debrecen (vagy Genf) - „A harmadik Róma” Moszkva - „Magyarország megmentője” Sobieski János Elérhető pontszám: 7­8. ) Magyarázza meg az alábbi mozaikszavakat! - KISZ Kommunista Ifjúsági Szövetség -GULAG Táborok Állami Igazgatósága - tsz termelőszövetkezet - SZET Szövetséges Ellenőrző Tanács - SZOT Szakszerv­ezetek Országos Tanácsa - PFSZ Palesztin Felszabadítási Szervezet Elérhető pontszám: 6­9. ) Melyik mai ország területén található? - Drinápoly Törökország - Hongkong Kína - Kenyérmező Románia - Nikolsburg Csehország - Zsitvatorok Szlovákia­­ - Gibraltár Nagy-Britannia - Fleurus Belgium - Lepanto Görögország - Jalta Ukrajna - Locarno Svájc Elérhető pontszám: 10 10.­ Kapcsolja össze az alábbi fogalmakat a megfelelő ne­vekkel? patrisztika Szt. Ágoston Dictatus papae VII. Gergely Újszerzeményi Bizottság I. Lipót hűtlenségi perek Metternich fegyveres semlegesség Teleki Pál új Kelet-politika Willy Brandt új szakasz politikája Nagy Imre frankhamisítási botrány Bethlen István Elérhető pontszám: 8­11.) Mi volt az államformája megadott időpontokban? a következő államoknak a - Hollandia, 1582 köztársaság -Jugoszlávia, 1950 népköztársaság - Kína, 1950 népköztársaság -Spanyolország, 1976 parlamentáris monarchia -Németország, 1919 szövetségi köztársaság Elérhető pontszám: 5 Összes elérhető pontszám: 100 NÉPSZAVA

Next