ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 5. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1979)

1979 / 1-2. sz. - Hatvani László: Nem-autonóm differenciálegyenlet-rendszerek megoldásainak stabilitása és parciális stabilitása

NEM-AUTONÓM DIFFERENCIÁLEGYENLETRENDSZEREK 3 A stabilitáselméletben külön foglalkoznak az autonóm és nem-autonóm dif­ferenciálegyenlet-rendszerek megoldásaival. Az (1.1) rendszert autonómnak nevezzük, ha a jobb oldalán álló X függvény nem függ az időtől. Az elnevezés onnan ered, hogy az önálló, más rendszerek által nem befolyásolt jelenségek fejlődéstörvénye általában független az időtől. A két eset különválasztásának az az oka, hogy autonóm rendszerekre nagyon sok olyan ismerettel rendelkezünk, amelyek a stabilitáselmélet­ben fontosak (1. dinamikus rendszerek elmélete [48]), de nem-autonóm esetben sokszor még megfelelőjük sincs. Ennek az az oka, hogy az idő a stabilitáselméletben mindig egy nem-kompakt halmazon változik, ami lényegesen megkülönbözteti a többi állapothatározótól. Jelen dolgozat áttekintést ad nem-autonóm differenciálegyenletek stabilitási, parciális stabilitási tulajdonságainak Ljapunov második módszerével való vizsgálatáról. Célunk az, hogy a klasszikus eredményekből kiindulva megismertessük az olvasót az elmélet alapvető tételeivel, rámutassunk az elmélet ma is művelt, aktuális problé­máira, főleg olyanokra, amelyeken keresztül — a szerző megítélése szerint — sike­resen be lehet kapcsolódni a modern eredmények alkotó alkalmazásába, és így a modern stabilitáselméleti kutatásokba. Meg kell jegyeznünk, hogy a nem-autonóm rendszerek kvalitatív vizsgálatának egy nagyon fontos eszközével, a közepelés módszerével [15, 35] a dolgozat terjedel­mére vonatkozó megkötés miatt nem foglalkozunk. Ugyanezen okból nem szerepel a stabilitáselmélet néhány fontos és érdekes területe, mint például az állandóan ható perturbációk melletti stabilitás, ún. totális stabilitás elmélete [14, 21, 39, 43]. A tételekre folyamatosan alkalmazásokat mutatunk. Hogy megkönnyítsük az egyes tételek összevetését, alkalmazásaink legtöbbször ugyanarra a konkrét, vagy egy bizonyos típusú mechanikai rendszerre vonatkoznak. További, más tudományágak­kal kapcsolatos alkalmazásokat az olvasó többek között a [10, 28, 46] monográfiák­ban találhat. 2. Jelölések és alapvető definíciók Az , хг, ..., x„­ valós szám-Ti-esek euklideszi terét !?"-nel jelöljük. Megállapodunk abban, hogy x^R" egyaránt jelölhet sor- vagy oszlopvektort; erre vonatkozó egyedüli megszorítás az, hogy a felírt műveleteknek legyen értelmük. A valós számok R1 terét egyszerűen x-rel jelöljük, továbbá legyen R+ a nem­negatív, a nem-pozitív valós számok halmaza. Egy x£Rn elem normáját |x|-kel jelöljük: \x\:={x\+x1+...+x2^12. Ha a£R, legyen [e]+:=max{a, 0}, [a]_:=max{ — a, 0}; x£R' esetén [x]+:= :=([*i]+„ [*г]+‡ •••‡ [*..]+); M­ pedig hasonlóan van definiálva. На x, y£Rn, akkor (x, y):=x1y1+x2y2+ ...+xny„ a két vektor skaláris szorzatát jelöli. Ha HcR", akkor H° a H halmaz komplementere. Az R" tér két részhalmazának (H, KczR") távolságát a Q{H, K):= inf{|xr—j|: xnH,ynK} képlettel értelmezzük. Használni fogjuk még a G"(a,E):= {jcfER": \x­a\ · e}, S(H,e):= {x£Rn, g(x,H) › e} jelöléseket (a£Rn, HcR", e·0). 2* Alkalmazott Matematikai Lapok 5 (1979)

Next