ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 5. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1979)

1979 / 1-2. sz. - Hatvani László: Nem-autonóm differenciálegyenlet-rendszerek megoldásainak stabilitása és parciális stabilitása

HATVANI L. Gyakran szükségünk lesz az R" vektor egy x — (y,z) particionálására, ahol y^R", z^R" (0,p^n, O^q, p+q^r­), ezért az x, y, z, n, p, q betűket követ­kezetesen ebben az összefüggésben használjuk, valahányszor általános differenciál­egyenlet-rendszert tárgyalunk. Legyen U: RpXRq-»R az első p változaja szerint differenciálható függvény. Ekkora (dU(y, z)/r)y\, ..., dU(y, z)/dyp) vektort röviden dU(y,z)/dy-nal is fogjuk jelölni. Jelölje Ж az a: R+ — R+ folytonos, szigorúan monoton növekvő, a(0)=0 tulajdonságú függvények osztályát. A továbbiakban Г az R" tér egy olyan tartományát jelöli, amely az x = 0 pontot tartalmazza. Egy V : R+ХГ­­+R függvényt у-ban pozitív definit пек nevezünk, ha V(t, 0)=0, és van az y=0 pontnak olyan U^R' környezete és olyan W: t/j—f? függvény, hogy fK(y)=0, ha yX0 és V{t, х)ш Щу) (x=(y, z)(EJ\ jCf/j). Könnyű megmutatni [49], hogy ez ekvivalens a következővel: V(t, 0)=0, és van az y , 0 pontnak olyan Ub­iRp környezete és olyan hogy V(t, x)^ Ша(\у\) (х£Г, y^Ufi. Jól ismert (pl. 1. [3, 53]), hogy egy (y, Ay) kvadratikus alak (A:pXp típusú konstans mátrix), akkor és csakis akkor pozitív definit, ha determinánsának minden diagonális főminora pozitív. A V függvényt y-ban negatív definit­nek nevezzük, ha a V y-ban pozitív definit. Tekintsük most az (2.1) x ( XCt. x) differenciálegyenlet-rendszert, ahol X: R+xQ­*R" folytonos függvény, Q­R" tartomány, továbbá bármely t0dR+, x0£Q párra lokálisan létezik a (2.1) egyenlet egyetlen olyan x(t\ ?0, x0) megoldása, amely kielégíti az x(t0', t0,x0) = x0 kez­deti feltételt. Tegyük fel, hogy bármely /0£Ä+-hoz van olyan n(t0)·0, hogy ha |x0 —­­=£‹(/(,)· akkor x(t, t0, £) értelmezve van a [t0, intervallumon. A különböző stabilitási fogalmak azt kívánják meg a megoldásoktól, hogy az i.v(t; t0,if) — — x(t; t0, x0)| eltérés valamilyen értelemben kicsiny legyen, ha — x0| elég kicsi. Hogy a definíciók a lehető legegyszerűbbek legyenek, hajtsuk végre az u:­x — — x(t; t0, x0) transzformációt. A (2.1) rendszer az új változóval felírva u = X(t, u+x(t; t0, x0))-X(t, x(t; t0, x0)) = : U(t, u) alakú, ahol U: R+XT^R' folytonos, 0£Г, Г ci Rn tartomány, az x = x(t, t0, x0) megoldás az u=0 megoldásnak felel meg (tehát U(t, 0)s0), és a vizsgálandó el­térés Iu(t, t0, w0)­. Visszatérve a szokásos jelölésre, a (2.2) x = X(t, x) (X(t, 0) s 0) differenciálegyenlet-rendszert vizsgáljuk, ahol X,R+xr — R' folytonos, és bár­mely t0-hoz van olyan g(r0)λ 0, hogyha |.x0|›1?(/0), akkor létezik a (2.2) egyetlen x(t\ /0, x0) megoldása a [10,­­») intervallumon. Tekintsük ismét az xdR' vektornak a már bevezetett x = (y, z) particionálását. A (2.2) 0-megoldását a) y-stabilisnak nevezzük, ha bármely e=­0, t0£R+-hoz létezik olyan ·5(e, to)^» hogyha |x0|­ó, akkor \y(t\ t0, x0)|­£ a [t0, intervallumon; b) egyenletesen y-stabilisnak nevezzük, ha az a) definícióban­­5(e, t0) csak e-tól függ, /0-tól nem. ~Alkalmazott Matematikai Lapok 5 (1979)

Next