ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 16. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1992)
1992 / 1-2. sz. - DOMOKOS GÁBOR: Síkbeli, konzervatív tenzormezők forgásszimmetriáinak vizsgálata elemi módszerekkel
2 DOMOKOS GÁBOR analitikus függvények előállításakor. A kettős összeg szoros kapcsolatban van az úgynevezett harmonikus polinomokkal; ezt részletesebben is be fogjuk mutatni. A dolgozatban bizonyítandó lemmák és tételek szorosan összefüggenek az invariánsok Hilbert-Mumford-féle geometriai elméletében (CLEUDONNÉ és CARRELL, 1971) megfogalmazott tételekkel illetve SCHWARZ (1975) megállapításaival, sőt, a dolgozatban megfogalmazott állítások egy része a Hilbert-Mumford elmélet általános tételeinek korolláriumaként is tekinthető. Mindazonáltal a dolgozat alapvetően mérnöki szempontból felvetődő problémákra keresi a matematikai választ, és ezen problémákat a matematikusok fel sem vetették, ezért nem is válaszolhattak rájuk. További célja a dolgozatnak, hogy a tételeket elemi eszközökkel bizonyítsa, és ez a törekvés — ha más és más szempontból is — a mérnökök és a matematikusok számára egyaránt érdekes lehet. Nem lesz tehát szükség a Hilbert-Mumford elméletben felhasznált csoport reprezentáció-elméletre és más mély matematikai eszközökre. A dolgozat másik célja a kidolgozott matematikai eredmények alkalmazása ciklikusan szimmetrikus tartószerkezetek mérnöki számítására. A ciklikusan szimmetrikus szerkezetek számításával kapcsolatban számos speciális eredményt értek el és módszert dolgoztak ki. Statikailag határozott rácsostartók rúderőinek meghatározásával foglalkozik HEGEDŰS (1978). A hengeres rácsok statikai és kinematikai jellemzőit vizsgálja TÁRNAS (1980). Hengeres rácsok dinamikai vizsgálatával foglalkozik TORNYOS (1985). Hengeres rács példáján illusztrálja eredményeit GÁSPÁR és TORNYOS (1986). Ciklikusan szimmetrikus szerkezetek számításánál sokszor az jelenti a gondot, hogy a szerkezet mechanikai jellemzőit leíró függvények (potenciális energia, merevségi operátor, feszültségi tenzormező) csonkolt Taylor-sora nem tükrözi a szerkezet, illetve a sorba rejtett függvény diszkrét forgásszimmetriáját, hanem folytonos körszimmetriát, illetve magasabb rendű diszkrét szimmetriát mutat. (Például a négyzet keresztmetszetű rúd másodrendű tehetetlenségi nyomatéka minden súlyponti tengelyre azonos.) A matematikai eredmények alapján azt szeretnénk megvizsgálni, hogy adható-e szükséges és elégséges feltétel a Taylor-sor figyelembe veendő tagjainak darabszámára, ha feltételül szabjuk, hogy a csonkolt sor megőrizze az eredeti függvény szimmetria-tulajdonságait, vagyis a csonkolásra mint operációra szimmetria-invariáns legyen. További feladat annak meghatározása, hogy adott rendű szimmetria esetén mi az összefüggés a csonkolt Taylor-sor együtthatói között. 2. Tenzorok szimmetria-invarianciája Ebben a pontban csak síkbeli tenzormezőkkel foglakozunk. 2.1 Definíció: Konzervatív tenzormezőnek nevezünk egy olyan m-edrendű Dm tenzormezőt, melynek 2m koordinátája egy [xy] derékszögű koordinátarendszerben értelmezett zF(x,y) analitikus skalármező 2m darab, m-edrendű parciális deriváltjával egyezik meg. Alkalmazott Matematikai Lapok 16 (1992)