ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 16. KÖTET (A MTA Matematikai és Fizikai Tudományok Osztályának Közleményei, 1992)

1992 / 1-2. sz. - DOMOKOS GÁBOR: Síkbeli, konzervatív tenzormezők forgásszimmetriáinak vizsgálata elemi módszerekkel

2 DOMOKOS GÁBOR analitikus függvények előállításakor. A kettős összeg szoros kapcsolatban van az úgynevezett harmonikus polinomokkal; ezt részletesebben is be fogjuk mutatni. A dolgozatban bizonyítandó lemmák és tételek szorosan összefüggenek az in­variánsok Hilbert-Mumford-féle geometriai elméletében (CLEUDONNÉ és CARRELL, 1971) megfogalmazott tételekkel illetve SCHWARZ (1975) megállapításaival, sőt, a dolgozatban megfogalmazott állítások egy része a Hilbert-Mumford elmélet általános tételeinek korolláriumaként is tekinthető. Mindazonáltal a dolgozat alapvetően mérnöki szempontból felvetődő problémákra keresi a matematikai választ, és ezen problémákat a matematikusok fel sem vetették, ezért nem is válaszolhattak rájuk. További célja a dolgozatnak, hogy a tételeket elemi eszközökkel bizonyítsa, és ez a törekvés — ha más és más szempontból is — a mérnökök és a matematiku­sok számára egyaránt érdekes lehet. Nem lesz tehát szükség a Hilbert-Mumford elméletben felhasznált csoport reprezentáció-elméletre és más mély matematikai eszközökre. A dolgozat másik célja a kidolgozott matematikai eredmények alkalmazása cik­likusan szimmetrikus tartószerkezetek mérnöki számítására. A ciklikusan szimmet­rikus szerkezetek számításával kapcsolatban számos speciális eredményt értek el és módszert dolgoztak ki. Statikailag határozott rácsostartók rúderőinek meghatá­rozásával foglalkozik HEGEDŰS (1978). A hengeres rácsok statikai és kinematikai jellemzőit vizsgálja TÁRNAS (1980). Hengeres rácsok dinamikai vizsgálatával foglal­kozik TORNYOS (1985). Hengeres rács példáján illusztrálja eredményeit GÁSPÁR és TORNYOS (1986). Ciklikusan szimmetrikus szerkezetek számításánál sokszor az jelenti a gondot, hogy a szerkezet mechanikai jellemzőit leíró függvények (potenciális energia, me­revségi operátor, feszültségi tenzormező) csonkolt Taylor-sora nem tükrözi a szer­kezet, illetve a sorba rejtett függvény diszkrét forgásszimmetriáját, hanem folyto­nos körszimmetriát, illetve magasabb rendű diszkrét szimmetriát mutat. (Példá­ul a négyzet keresztmetszetű rúd másodrendű tehetetlenségi nyomatéka minden súlyponti tengelyre azonos.) A matematikai eredmények alapján azt szeretnénk megvizsgálni, hogy adható-e szükséges és elégséges feltétel a Taylor-sor figyelembe veendő tagjainak darabszámára, ha feltételül szabjuk, hogy a csonkolt sor megőrizze az eredeti függvény szimmetria-tulajdonságait, vagyis a csonkolásra mint operációra szimmetria-in­variáns legyen. További feladat annak meghatározása, hogy adott rendű szimmetria esetén mi az összefüggés a csonkolt Taylor-sor együtthatói között. 2. Tenzorok szimmetria-invarianciája Ebben a pontban csak síkbeli tenzormezőkkel foglakozunk. 2.1 Definíció: Konzervatív tenzormezőnek nevezünk egy olyan m-edrendű Dm tenzormezőt, melynek 2m koordinátája egy [xy] derékszögű koordinátarendszerben értelmezett z­­­F(x,y) analitikus skalármező 2m darab, m-edrendű parciális de­riváltjával egyezik meg. Alkalmazott Matematikai Lapok 16 (1992)

Next