ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 27. KÖTET (A MTA Matematikai Tudományok Osztályának Közleményei, 2010)

2010 / 1. sz. - MIHÁLYKÓNÉ ORBÁN ÉVA - MIHÁLYKÓ CSABA - LAKATOS G. BÉLA: Szintátmetszési probléma és általánosítása a Sparre Andresen-modellben

Alkalmazott Matematikai Lapok 27 (2010), 1-15. SZINTÁTMETSZÉSI PROBLÉMA ÉS ÁLTALÁNOSÍTÁSA A SPARRE ANDERSEN-MODELLBEN MIHÁLYKÓNÉ ORBÁN ÉVA, MIHÁLYKÓ CSABA, LAKATOS G. BÉLA A biztosítási matematika fő kérdése a tönkremenés valószínűségének, a tönkremenési idő eloszlásának meghatározása, és kevés figyelmet fordítanak a pénztárban levő pénzmennyiség legnagyobb értékének vizsgálatára. Mi most arra a kérdésre keressük a választ, hogy a biztosítási matematikában Sparre Andersen-modellként ismert modell esetén vajon meghalad-e valaha egy bizo­nyos szintet a pénztárban levő pénzmennyiség, és ha igen, akkor mikor. Álta­lánosabban egy olyan függvény elemzését végezzük el dolgozatunkban, amely speciális esetként adja meg a pénzmennyiség-szint elérésének valószínűségét, valamint a szintátmetszési idő várható értékét. 1. Bevezetés A biztosítási matematikában alkalmazott modellek esetén a központi kérdés, hogy véges vagy végtelen időintervallumon vizsgálva a folyamatot, vajon tönkre­megy-e a biztosítótársaság, illetve ez az esemény mikor fog megtörténni. Ha más kérdések felvetődnek, akkor is általában a tönkremenés időpontjáig foglalkoznak a kérdéssel. Mivel vannak olyan stratégiák, amelyben bizonyos pénzmennyiség elérésekor a befizetendő pénzmennyiséget csökkentik [1], vagy más esetekben osztalékot­ fizetnek egy bizonyos nyereség elérése után [4], ezért érdekes lehet annak vizsgálata, hogy vajon meghalad-e egy bizonyos szintet valaha is a pénztárban levő pénzmennyiség, és ha ez megtörténik, vajon mikorra várható. Vagyis milyen valószínűséggel, illetve mikor számíthatunk kedvezményekre. Mi most ezzel a kérdéssel olyan tekintetben foglalkozunk, hogy közben nem nézzük, vajon a pénztárban levő pénzmennyiség negatívvá vált-e eközben. Azért is érdekes lehet ez a kérdés, mert a tároló mo­dellek vizsgálata során ennek a kérdésnek a megfelelője a szükséges kezdő anyag­mennyiség meghatározása, amelynél nem releváns kérdés, hogy az anyagelfogyás előtt meghaladt-e egy bizonyos szintet a tárolóban levő anyag mennyisége [8, 9]. Ugyanez a kérdés vetődik fel abban az esetben, amikor a pénztárból a kifizetés járadék formájában történik, és a befizetések történnek véletlen időpontokban és véletlen nagyságban, és arra a kérdésre várunk választ, hogy vajon adott kezdő­tőke mellett milyen valószínűséggel megy tönkre a biztosítótársaság, illetve mikor Alkalmazott Matematikai Lapok (2010) MAGYAR TUDOMÁNYOS AKADÉMIA KÖNYVTÁRA

Next