ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 28. KÖTET (A MTA Matematikai Tudományok Osztályának Közleményei, 2011)

MÁNFAY MÁTÉ: Poincaré-egyenlőtlenség kizárásos folyamatokra

Alkalmazott Matematikai Lapok 28 (2011), 1-16. POINCARÉ-EGYENLŐTLENSÉG KIZÁRÁSOS FOLYAMATOKRA MÁNFAY MÁTÉ Markov-folyamatok vizsgálatakor kulcsfontosságú szerepet tölt be az úgy­nevezett Poincaré-egyenlőtlenség, segítségével részecskerendszerek hidrodi­namikai viselkedésével kapcsolatban vonhatunk le fontos következtetéseket. Korábban T. Funaki, K. Uchiyama és H.T. Yau bizonyította az egyenlőt­lenséget a kétállapotú egyszerű kizárásos folyamatra, ebben az esetben az egyenlőtlenségben szereplő konstans a rendszer méretének négyzetével ará­nyos. Cikkünk a háromállapotú kizárásos modellel foglalkozik, ahol interakció is megengedett az állapotok közt. Fő eredményünk a Poincaré-egyenlőtlenség bizonyítása erre a folyamatra, melyben a konstans nagyságrendje megegyezik a kétállapotú modellnél látottal. 1. Bevezetés A róla elnevezett egyenlőtlenséget Henri Poincaré francia matematikus a Laplace-egyenlet Dirichlet-feladatához kapcsolódóan igazolta: felső becslést adott a Laplace-operator legnagyobb sajátértékére, ami persze negatív. Klasszikus alkal­mazási területe az elliptikus és parabolikus egyenletek elmélete, de az utóbbi évtize­dekben tágabb értelmezést nyert, diszkrét jellegű problémák tárgyalásakor is fontos szerepet játszik, többek közt a valószínűségszámítás modern elméletében. Markov­folyamatok ergodikus viselkedésének vizsgálatánál [6]. Véges í! állapottérben ha­ladó folytonos idejű Markov folyamatokat vizsgálunk, általában fi " X', ahol X véges halmaz. A folyamat generátora L(p(u) ( r{uj,a)(íp(a) - ф)), ahol r(w,­x) jelöli a nemnegatív ugrási rátát w-ból λ r-ba. A mérték stacionárius, ha minden ip függvényre ^Сшегг Lip(ui)\(ui) = 0. Kölcsönható részecskerendszerek vizsgálatakor a kérdéses folyamat generátorának megszokott felírási módja a követ­kező: Ьф) = Y (ip {uiA) - ф)), Ae A ahol A olyan A : fi­­- fi transzformációk gyűjteménye, melyek új néhány koor­dinátáját változtatják. Сд(ш) 1­0 egy A-tól, illetve co-tól függő konstans, és Alkalmazott Matematikai Lapok (2011) " MAGYAR TUDOM­Á­Y­OS A 31 7.4­7 1

Next