ALKALMAZOTT MATEMATIKAI LAPOK 28. KÖTET (A MTA Matematikai Tudományok Osztályának Közleményei, 2011)
MÁNFAY MÁTÉ: Poincaré-egyenlőtlenség kizárásos folyamatokra
Alkalmazott Matematikai Lapok 28 (2011), 1-16. POINCARÉ-EGYENLŐTLENSÉG KIZÁRÁSOS FOLYAMATOKRA MÁNFAY MÁTÉ Markov-folyamatok vizsgálatakor kulcsfontosságú szerepet tölt be az úgynevezett Poincaré-egyenlőtlenség, segítségével részecskerendszerek hidrodinamikai viselkedésével kapcsolatban vonhatunk le fontos következtetéseket. Korábban T. Funaki, K. Uchiyama és H.T. Yau bizonyította az egyenlőtlenséget a kétállapotú egyszerű kizárásos folyamatra, ebben az esetben az egyenlőtlenségben szereplő konstans a rendszer méretének négyzetével arányos. Cikkünk a háromállapotú kizárásos modellel foglalkozik, ahol interakció is megengedett az állapotok közt. Fő eredményünk a Poincaré-egyenlőtlenség bizonyítása erre a folyamatra, melyben a konstans nagyságrendje megegyezik a kétállapotú modellnél látottal. 1. Bevezetés A róla elnevezett egyenlőtlenséget Henri Poincaré francia matematikus a Laplace-egyenlet Dirichlet-feladatához kapcsolódóan igazolta: felső becslést adott a Laplace-operator legnagyobb sajátértékére, ami persze negatív. Klasszikus alkalmazási területe az elliptikus és parabolikus egyenletek elmélete, de az utóbbi évtizedekben tágabb értelmezést nyert, diszkrét jellegű problémák tárgyalásakor is fontos szerepet játszik, többek közt a valószínűségszámítás modern elméletében. Markovfolyamatok ergodikus viselkedésének vizsgálatánál [6]. Véges í! állapottérben haladó folytonos idejű Markov folyamatokat vizsgálunk, általában fi " X', ahol X véges halmaz. A folyamat generátora L(p(u) ( r{uj,a)(íp(a) - ф)), ahol r(w,x) jelöli a nemnegatív ugrási rátát w-ból λ r-ba. A mérték stacionárius, ha minden ip függvényre ^Сшегг Lip(ui)\(ui) = 0. Kölcsönható részecskerendszerek vizsgálatakor a kérdéses folyamat generátorának megszokott felírási módja a következő: Ьф) = Y (ip {uiA) - ф)), Ae A ahol A olyan A : fi- fi transzformációk gyűjteménye, melyek új néhány koordinátáját változtatják. Сд(ш) 10 egy A-tól, illetve co-tól függő konstans, és Alkalmazott Matematikai Lapok (2011) " MAGYAR TUDOMÁYOS A 31 7.47 1