Geodézia és kartográfia 1989 (41. évfolyam, 1-6. szám)

1989 / 1. szám - Biró Péter: A nehézségi erőtér matematikai leírásával kapcsolatos fogalmak pontosítása

Newton tömegvonzási törvényének és a forgásból származó erő kiszámítására szolgáló összefüggésnek a felhasználásával az m tömegű testre ható nehéz­ségi erőt végülis az összefüggéssel értelmezzük. Itt­­ a Newton-féle általános tömegvonzási állandónak a külföldi szakirodalomban gyakran használt és az SI nem­zetközi mértékrendszerben elfogadott jelölése (ezért látszik célszerűnek a nehézségi erőre az eddig használt G helyett a mechanikában általá­nos F előjelölést bevezetni, a megfelelő indexszel), de a Föld tetszőleges tömegeleme, melynek hely­zetét az r’ helyvektor jellemzi, r a vizsgált P pont helyvektora, ahol az m tömeg elhelyezkedik, 1 · · r—r’ az említett helyvektorok különbségvek­tora, co a Föld forgási szögsebessége és p az m tömegnek (a P pontnak) a forgástengelyre merő­leges távolságvektora. A Föld külső terében lévő és a Föld forgásában részt nem vevő testre ható nehézségi erő értelmezé­sekor természetesen elmarad a forgásból származó erő, és pusztán a Föld tömegvonzásából származó Fit Newton-féle tömeg­vonzási (gravitációs) erő adja a nehézségi erőt. Itt hívjuk fel a figyelmet arra, hogy csak ebben az egyetlen esetben lehet indokolt a nehézségi erőtér helyett a ,,gravitációs erőtér” kifejezés használata, minden egyéb esetben helytelen, mert a ,,gravitációs" azaz tömegvonzási erőhöz a Föld felszínén a forgásból származó erő is hozzájárul, így a nehézségi erő általában nem azonos a ,,gravitációs” erővel! (Természetesen ugyanez vonatkozik a nehézségi erőtérrel kapcso­latos későbben tárgyalandó többi fogalmakra is.) A nehézségi erő természetszerűen erő jellegű mennyiség, amelynek mértékegysége az SI rend­szerben 1 N (newton). A Newton-féle általános tö­megvonzási állandó pedig az egymástól egységnyi (1 m) távolságra lévő egységnyi (1 kg) nagyságú tömegek között keletkező vonzóerő nagysága, mely­nek mértékegysége [G] / N m2/kg2. Statikai értelemben a nehézségi erő az m tömegű test súlya, vagyis az az erő, amit a test az alátá­masztására gyakorol. Egyensúlyi (nyugalmi) hely­zetben a nehézségi erőt a vele azonos nagyságú és hatásvonalú, de ellentett értelmű­v­el, támaszerő­vel kell egyensúlyozni. Ha az alátámasztás (fel­függesztés) megszűnik, akkor a nehézségi erő a testet mozgásba hozza (a nehézségi erő dinamikai hatása), melynek gyorsulását (a testre ható összes erők figyelembe vételével) a Newton-féle m­ozgás­­­törvény alapján lehet kiszámítani. Mint említettük, a geodézia egyik alapfeladata a nehézségi erőtér meghatározása és matematikai leírása. Erre a célra azonban a nehézségi erővekto­rok nem alkalmasak, mert — mint a (4) mutatja — nagyságuk a testek tömegével arányos, így a tér ugyanazon pontjában a különböző tömegű testek­re különböző nagyságú nehézségi erő hat. Ezért a nehézségi erő térbeli eloszlásának egyértelmű le­írásához valamilyen közös „vonatkoztatási” tö­meget kell választani. Ezt a szerepet célszerű és az egységnyi (1 kg) tömeg töltheti be. A töltésre gyakorolt erőhatás és a töltés hánya­dosát a fizikában (és a potenciálelméletben) tér­erősségnek nevezik. A mi vonatkozásunkban i­s vizsgált pontban képzelt tömegre ható nehézség erő és a tömeg hányadosa, a fajlagos nehézség erő, az ig nehézségi térerősség (aminek a számértése tehát az egységnyi (1 kg) tömegű test súlya). A térerősség fizikai értelmezését megkapjuk, ha f (4)-et a test m tömegével végigoszt­juk, f» = fv + fí' = G J -ß-d?n+co2p = g, (5) Föld ahol iN a Ne­vton-féle tömegvonzás (gravitáció) és f f a forgásból származó erőtér térerőssége. A to­vábbiakban a nehézségi erőtér térerősségének je­lölésére megtartjuk az általánosan elterjedt g je­lölést. Hasonló megfontolással kapjuk meg a térerősség Sí rendszerbeli mértékegységét is, amely tehát amely a fogalom tartalmát is egyértelműen érzé­kelteti. A nehézségi erőtér térerősségvektorai (adott­forrástömeg, esetünkben a Földtömeg állandó­sága mellett) már egyértelmű függvényei a hely­nek és a g / g(r) vektor-vektor függvénnyel leírható folytonosan változó vektorteret (erőteret) képeznek. Ezért ők a nehézségi erőtér minden elméleti és gyakorlati célú matematikai leírására alkalmasak. A földi nehézségi térerősség nagysága az egyenlí­tőtől a sarkokig mintegy 9,78 N/kg-ról 9,83 N/kg-ra növekszik, közepes értéke kereken 9,81 N/kg. A nehézségi térerősség ismeretében egyszerűen számítható bármely m tömegű testre ható ne­hézségi erő az Fg­y íg m­a­gm (7) egyszerű összefüggésből, ami nem más, mint a tér­erősség kiszámításakor használt gondolatmenet megfordítása. Mértékegységét tekintve is helyes az eredmény, hiszen Fg(N) ( g(N/kg) • m(kg). (8) A nehézségi térerősség a földi nehézségi erőtér­nek az a jellemzője, mely fizikai (mechanikai) számításokban szerepel (az egyetlen kivételes esetről a következőkben lesz még szó), ezért a geodézia alapfeladatát a nehézségi térerősségvek­torok térbeli eloszlásának meghatározásával és leírásával oldja meg. A fizikai (mechanikai) feladatok közül az ideá­lis körülmények közötti (azaz minden ellenállás nélküli) ún. szabadesés és függőleges hajítás (bele- Fg = FN + FF = IG! | Föld (4)

Next